En mis esfuerzos (en algún lugar en el límite de las matemáticas discretas y la informática teórica), me he encontrado con la necesidad de resolver (o al menos descubrir algunas de las propiedades de la solución) infinitos sistemas de ecuaciones de diferencia (NO diferenciales) (lineales, autónomas, de primer orden). Resolver sistemas contables es suficiente para mi propósito.
Sin embargo, casi no tengo idea de cómo resolver tales sistemas (y cuáles son las condiciones de solvencia). Tengo la sensación de que un posible enfoque es buscar generalizaciones del método de dimensiones finitas a espacios de dimensiones infinitas a través de la teoría espectral de los operadores lineales, pero no tengo ni idea de los detalles.
Así que mi pregunta es si hay algún recurso que trate sistemáticamente con sistemas infinitos de ecuaciones de diferencia. Estaría agradecido ya sea por un recurso que pueda ser leído también sin un conocimiento de matemáticas avanzadas (que es algo legible para no matemáticos) o, alternativamente, por un recurso más avanzado con una recomendación donde aprender los prerrequisitos. Mi formación matemática es, por desgracia, bastante básica (me especializo en informática): los campos posiblemente relevantes en los que tengo experiencia son el cálculo, el álgebra lineal, algunos fundamentos del análisis moderno, ecuaciones de diferencia/diferencial y fundamentos del análisis funcional (sin embargo, tengo un conocimiento muy pobre de la teoría espectral).
Agradecería cualquier recurso que trate este tema, así como cualquier recomendación sobre qué partes de las matemáticas se supone que debo aprender (preferiblemente con algunos recursos recomendados). Estoy dispuesto a invertir una cantidad considerable de tiempo en el estudio, pero me gustaría seguir algún camino recomendado que lleve a la meta. En el caso de que la teoría de los sistemas infinitos de ecuaciones diferenciales sea similar, apreciaría también los recursos que se ocupen de ellos.
EDITAR: un ejemplo de este sistema: $$x_{n+1} = A \cdot x_n,$$ donde $x_n$ están en $ \ell ^{ \infty }$ , $x_0$ se da (por ejemplo, que $x_0 = (1,0,1,0,1 \ldots )$ ), y $A$ es un operador lineal que puede ser visto como una matriz infinita (por ejemplo) $$A = \left ( \begin {array}{ccccc}0 & 2 & 0 & 0 & \ldots \\ 2 & 0 & 1 & 0 & \ldots \\ 0 & 1 & 0 & 2 & \ldots \\ 0 & 0 & 2 & 0 & \ldots \\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \ddots \end {array} \right ).$$ No he sido muy cuidadoso, si este sistema en particular tiene sentido y se comporta bien, pero la forma de mis sistemas debe ser clara. $A$ es siempre un operador limitado en $ \ell ^{ \infty }$ que puede ser (si es necesario) visto como una matriz infinita que es $k$ -diagonal para alguna constante fija (relativa al sistema) $k$ . Sin embargo, estos son detalles. No estoy pidiendo una solución detallada, sino principalmente un recurso que trate tales (o similares) sistemas y que me permita resolver los detalles por mí mismo.
La matriz del ejemplo anterior es simétrica por error. Mis matrices no son simétricas ni Hermitianas en general (el operador no es necesariamente auto-ajustable).
