Supongamos que hay un $c>0$, de modo que $S≥c\Bbb1$ es decir $S-c\Bbb1$ es positivo operador. Si $S$ es positivo, entonces esto es equivalente a $S$ se vincula desde abajo.
A continuación, $S^{1/2}$ está delimitada desde abajo y (si $A\neq0$):
$$\|S^{1/2}y\|≥c^{1/2}\|y\|≥\frac{c^{1/2}}{\|S^{1/2}\|\,\|A\|}\|S^{1/2}Ay\|.$$
Así, por ejemplo $S$ tenemos que $\mathcal L^S(E)=\mathcal L(E)$.
Por otro lado cada positivos $S$, de modo que $\mathcal L^S(E)=\mathcal L(E)$ debe estar acotada desde abajo (o $0$). Hay dos situaciones posibles:
- $S^{1/2}$ tiene un no-cero kernel.
- $S^{1/2}$ no tiene no-cero kernel.
En el primer caso vamos a $y$ estar en el núcleo y deje $x$, para que $S^{1/2}(x)\neq0$. A continuación, con $A= |x\rangle\langle y|$$S^{1/2}Ay=S^{1/2}x\neq0$. Por otro lado $S^{1/2}y=0$. Esto significa que la condición de $A\in \mathcal L^S(E)$ se convierte en imposible.
En el segundo caso vamos a $y_n$ ser una secuencia de norma $1$ vectores, de modo que $S^{1/2}y_n\to0$ (desde $S^{1/2}$ no está delimitado de abajo esta existe). Podemos suponer que el $y_n$ son ortogonales y que $\|S^{1/2}y_n\|≤2^{-n}$. Deje $x$ ser arriba y $A=\sum_n \frac1{n^2}|x\rangle\langle y_n|$. Entonces si $A\in\mathcal L^S(E)$ debemos tener:
$$\|S^{1/2}Ay_n\|=\frac1{n^2}\|S^{1/2}x\|\overset?≤M\|S^{1/2}y_n\|≤M2^{-n}.$$
Esto es imposible.
