Es una pregunta sencilla pero estoy confundido.
¿Cuál es el límite de $S^2\times\mathbb{R}$ ? ¿Es sólo $S^2$ ?
¿Cuál sería la forma general de evaluar el límite de un colector de productos?
Gracias por las respuestas.
Como otros han escrito, $S^2\times\mathbb R$ no tiene límites.
Generalmente, si $A$ y $B$ son variedades con límites $\partial A$ y $\partial B$ respectivamente, entonces $A\times B$ es un colector con límite $\partial(A\times B)=(\partial A\times B)\cup(A\times\partial B)$ . Esto es cierto para los colectores pero no para los colectores diferenciales, ya que las "esquinas" son homeomorfas pero no difeomorfas a $\mathbb R^{n-1}$ . Por ejemplo, el producto de dos segmentos de línea cerrados es un rectángulo cerrado, que es homeomorfo pero no difeomorfo a un disco cerrado. Véase este documento para una exposición sobre los colectores con esquinas.
Si te interesan las variedades diferenciables, una variación de lo que dijo joriki sigue siendo cierta. Si $X$ es un colector sin límites y $Y$ , un colector con límite $\partial Y$ entonces $X\times Y$ es un colector con límite $X\times \partial Y$ . Para más detalles, puede consultar muchos sitios, por ejemplo, Guillemin y Pollack Topología diferencial , Capítulo 2.
No tiene límites. Sea $p=(\theta,\psi,r)\in M:=S^2\times\mathbb{R}$ (piensa en coordenadas esféricas) entonces $p$ es un punto interior. En efecto, $p$ está contenido en el conjunto abierto (un "cubo"): $$(\theta-\epsilon,\theta+\epsilon)\times(\psi-\epsilon,\psi+\epsilon)\times(r-\epsilon,r+\epsilon)$$
A título ilustrativo, observe también que puede representar M visualmente como $\mathbb{R}^3-0$ . De hecho, si sólo asocia $r\in\mathbb{R}$ con una esfera de radio $e^r$ entonces se obtiene la visual deseada de $\mathbb{R}^3$ menos el origen. (Obsérvese que como $r$ se hace más grande también lo hace el radio, y como $r$ se hace más negativo el radio se reduce).
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Esto es localmente difeomorfo a los conjuntos abiertos en $\mathbb R^3$ así que no veo cómo podría tener un límite.
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Claro que sí. Lo leí en un periódico de física y la afirmación me confundió. La única forma plausible de ver $S^2$ como límite es como límite de la bola 3 $B^3$ .
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Además, si $M$ y $N$ son variedades sin límite, entonces $M\times N$ no tiene límites.
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Probablemente el físico está pensando en $\Bbb{R}$ como si tuviera "límites en el infinito" de alguna manera. Por desgracia, es difícil saber exactamente cómo sin más contexto...
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En realidad, estaba investigando el tema de la relación entre el modelo de Wess-Zumino-Witten y la teoría de Chern-Simons. Si se toma una teoría de CS con grupo gauge G en una variedad con frontera y se asume una condición gauge pura, se obtiene una teoría de campo conforme bidimensional. Se conoce como modelo G-Wess-Zumino-Witten en la frontera. El documento que he revisado probablemente confunde $B^3$ con $S^2\times\mathbb{R}$ . Perdón por la falta de claridad.