Notación de número decimal negativo interesante

Question

Estaba estudiando logaritmos y tuvo que resolver el problema:

Si encuentra $\log 8 = 0.90$, $\log 0.125$.

He encontrado la respuesta que $-0.90$. Eso fue fácil. Pero mi libro de texto ha dado la respuesta como:

$$-0.90 = \bar{1}.10$$

Ahora ¿qué esa barra por encima del $1$ es? Mi entendimiento es que se utiliza para indicar un dígito repetición. Pero, ¿cómo puede $-0.90 = \bar{1}.10$?

Puede alguien por favor explicarme esto.

¡Gracias!

Answer 1

Esta fue una notación común cuando logaritmos decimales estaban involucrados. El punto de partida es que si $$ M/N=10^k $$ para dos números positivos $M$$N$, luego de sus logaritmos decimales tienen el mismo mantisa (parte fraccionaria) y podemos escribir $$ \log_{10} M= k + \log_{10} N $$ En particular, cualquier número $M>0$ puede ser el único escrito como $$ M=10^k N $$ con entero$k$$1\le N<10$. Así que el logarítmica tablas fueron compilados, por ejemplo, para los números de$1$$1000$, pero sólo mostró la mantisa; cuando el logaritmo de, digamos, $10.4$ era necesario, uno de ellos miraba a $104$ hallar la mantisa a ser$01703$, por lo que se puede concluir $\log_{10}10.4=1.01703$. Si uno sabe que el logaritmo decimal de $2$ $$ \log_{10}2=0.30103 $$ (la igualdad se entiende como "aproximado"), a continuación,$\log_{10}0.02=-2+0.30103$, la cual fue escrita como $$ \log_{10}0.02=\overline{2}.30103 $$ para facilitar la búsqueda en tablas logarítmicas, porque, como ya se dijo, sólo mantissas se muestra.

En su caso, $0.125=1/8$, por lo que $$ \log_{10}0.125=-\log_{10}8 = -3\log_{10}2=-0.90309=-1+0.09691=\overline{1}.09691 $$ (utilice el "complemento a $9$" regla para escribir la mantisa).