Creando una función compuesta que es inyectiva con una parte inyectiva y no inyectiva

Question

Encontrar un ejemplo de las funciones de $f:A\to B$ $g:B\to C$ tal que $f$ y $g\circ f$ son tanto inyectiva, sino $g$ no es inyectiva.

Así que Si lo entiendo correctamente,

1. Necesita una función $f$ que es inyectiva y que también hará $g$ inyectiva cuando está enchufado durante la $g\circ f$.
2. Necesita una función $g$ que no es inyectiva en su propio
3. El rango de $f$ deben ser un subconjunto del dominio de $g$

Traté de pensar a lo largo de las líneas de usar variaciones de $f(x)=x$$g(x)=x^2$, pero todos aquellos que dejar mi compuestos de función no inyectiva

También he estado usando $x\in\Bbb R$ a fin de mantener el rango de $f$ y el dominio de $g$ de la misma.

Alguna sugerencia de donde ir con esto? Gracias

Editar: Gracias a todos las respuestas fueron muy útiles en la comprensión del problema y los conceptos que mejor

Answer 1

Sugerencia. Tomemos $g:{\Bbb R}\to{\Bbb R}$ $g(x)=x^2$ como usted sugiere - una buena, sencilla, bien conocida la función no es uno a uno. Supongamos que queremos $f:{\Bbb R}\to{\Bbb R}$ también.

A decir $g\circ f$ es uno-a-uno de los medios: si se conoce el valor de $g(f(x))$, entonces usted sabe que el valor de $x$, es decir, saber de que, con sólo una posibilidad. Así, supongamos que el valor de $g(f(x))$ es dado. Tenemos $$g(f(x))=(f(x))^2\ ;$$ una buena manera de proceder a partir de aquí sería [1] encontrar el valor de $f(x)$, a continuación, [2] encontrar el valor de $x$. Paso [2] es fácil como $f$ se supone que es uno-a-uno. El problema es que paso [1] se suele dar dos valores de $f(x)$.

Pero ahora supongamos, por ejemplo, que el $f(x)$ es siempre positivo. A continuación, paso [1] da un valor definido de $f(x)$ y todo está OK.

Así se puede pensar en una (muy conocida) uno-a-uno la función $f:{\Bbb R}\to{\Bbb R}$ que $f(x)$ es siempre un número positivo?

Espero que esto no suene demasiado largo aliento, pero estoy esperando para ilustrar cómo se puede pensar sobre este tipo de problema.

Answer 2

Tome$f:[0,\infty)\to\Bbb R$ con$f(x)=x$ y$g:\Bbb R\to[0,\infty)$ con$g(x)=|x|$. Entonces$f$ es injective y$g$ no, mientras que$g\circ f:[0,\infty)\to[0,\infty)$ es la función de identidad y por lo tanto es inyectiva.

Answer 3

$g:B\to C$ no inyectiva significa que los hay de distintos $b,b'\in B$$g(b)=g(b')$. Todo lo que necesita es asegurarse de que la imagen de $f$ nunca contiene los valores de $b$ $b'$ al mismo tiempo (tal vez ninguno).

Ejemplo.

Elija $g(x)=x^2$, entonces la inyectividad de violar los pares se $(x,-x)$$x>0$. Sólo asegúrese de que si $f(x)=y$, entonces no hay ninguna $x'$$f(x')=-y$, por ejemplo, elegir

$$f(x)=e^x$$

que es inyectiva y sólo asume los valores positivos. Tenga en cuenta que aquí $A=C=\Bbb R$$B=(0,\infty)$.

Answer 4

Todas las respuestas hasta ahora son grandes, pero pensé que podría señalar una clase muy simple de ejemplos. Deje $A$ ser un conjunto con un solo elemento, a decir $A = \{x\}$. Entonces para cualquier conjunto no vacío $B$ y cualquier función $f \colon A \to B$, $f$ es vacuously inyectiva. Por lo tanto, para cualquier conjuntos no vacíos $B, C$ y cualquier función de $g \colon B \to C$, el compuesto de la función $g \circ f \colon A \to C$ es necesariamente inyectiva. Ahora puede evocar muchos ejemplos donde $g$ no es inyectiva!

Para la concreción, usted podría tomar (decir) $B = \{y, z\}, C = \{a, b, c\}$,$g \colon B \to C$$g(y) = g(z) = a$, si quería.