Encontrar
$$\int \frac{2x^{12} + 5x^9}{(x^5 + x^3 + 1)^3}dx$$
En la pregunta de arriba, literalmente me estaba perplejo, y no era capaz de resolver por un largo tiempo. Resulta que había que dividir el numerador y el denominador por x15, y luego nos podría sustituir. Ahora esto fue mi manera de pensar, ¿cómo podemos entender a donde divide qué? Me refiero obviamente, en esta pregunta - una gran sugerencia sería el numéricos de los coeficientes del numerador, pero aparte de eso, ¿hay alguna forma lógica de proceder o es básicamente un éxito y probar?
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55
Tales problemas están diseñados donde el autor de el problema que tiene el instrumento para ser aplicado en la mente y el problema está hecho a medida para obligar a la aplicación de la herramienta. Hay mucho más intenso problemas patológicos ideado para hacer que la aplicación de la herramienta que todos los más oscuros. Me recuerda los problemas por los Titu Andreescu donde él quiere que el estudiante aplique sencillo AM-GM de la desigualdad, que es tan oscuramente oculto detrás de muchos de los pasos de manipulación algebraica, que un enfoque lógico parece difícil. En su caso, de su relativamente fácil ver que el líder término del denominador es $x^{15}$, por lo que dividir por éste, como una regla del pulgar (usted quiere tratar con potencias inferiores) y, a continuación, utilizar la segunda regla de oro cuando la integración no es sencilla--cambio de variables.
Generalmente estos tipo de preguntas nos simplemente poner $\displaystyle x = \frac{1}{t}$ y luego utilice el método normal de substution
Ahora que %#% $ #%
Poner $$I = \int \frac{2x^{12}+5x^9}{(x^5+x^3+1)^3}dx$ % entonces $\displaystyle x= \frac{1}{t}\;,$
Así $\displaystyle dx = -\frac{1}{t^2}dt$ $
Ahora usando el método de substution normal, poner $$I = -\int\frac{2+5t^3}{\left(t^5+t^2+1\right)^3}\cdot \frac{t^{15}}{t^{12}}\cdot \frac{1}{t^2}dt = -\int\frac{2t+5t^4}{\left(1+t^2+t^{5}\right)^3}dt$ entonces $(1+t^2+t^5)=u\;,$
Así conseguimos %#% $ #%
Así $(2t+5t^4)dt=du$ $
$$I = -\int\frac{1}{u^3}du = \frac{1}{2u^2}+\mathcal{C} = \frac{1}{2(1+t^2+t^5)^2}+\mathcal{C}$ Evaluación del $$I = \int \frac{2x^{12}+5x^9}{(x^5+x^3+1)^3}dx = \frac{x^{10}}{2(x^5+x^3+1)^2}+\mathcal{C}$ $
