¿Existe el límite de $y=\sqrt{x}\sin \frac{1}{x}$?

Question

Para la gráfica de $$y=\sqrt{x}\sin \frac{1}{x},$$ ¿Existen los siguientes límites? Si es así, ¿qué es?

(a) $\lim_{x \to 0^+} f(x)$
(b) $\lim_{x \to 0^-}f(x)$
(c) $\lim_{x \to 0}f(x)$

Por cierto, la gráfica es $\sin \frac{1}{x}$ interior de la parábola $x=y^2$

Aquí es lo que tengo
(a) Sí, el límite es de $0$
(b) No
(c) No

Estoy confundido (a), porque si $x$ enfoques $0$ desde el lado derecho, entonces, de acuerdo a la parábola, que llega al límite de $0$. Pero si $x$ enfoques $0$ desde el lado derecho, de acuerdo a $\sin\frac{1}{x}$, no hay límite. Por favor ayuda?

Answer 1

Bien, veamos el pecado ($\frac{1}{x}$) en primer lugar. A medida que x se aproxima a 0 desde cualquier dirección, $x\rightarrow 0$, lo $\frac{1}{x}\rightarrow +\infty $. Pero por la definición de seno, el pecado, la t| $\leq 1$ donde $t\in \mathbb R$. Así que consideren $(a,b) \subset \mathbb R $ donde $0\in $(a,b). Entonces, hay 3 posibles valores extremos de y= f(x): 1) $x\in (a,b)$ tal que $\frac{1}{x}=2n\pi$ donde $n\in \mathbb N$.

2) $x\in (a,b)$ tal que $\frac{1}{x}=2n\pi$ + $\frac{\pi}{2}$

y

3) $x\in (a,b)$ tal que $\frac{1}{x}=2n\pi$ + $\frac{3\pi}{2}$

Por lo tanto, el pecado ($\frac{1}{x}$) oscila entre 1 y -1 en cualquier vecindario de x -> 0. Técnicamente,debido a la $\sqrt x$ plazo, f(x) no está definida en x < 0. Pero desde podemos se aproxima a 0 por la izquierda, f(0) no está definido, podemos tomar el valor absoluto de x y obtener el mismo resultado en el cálculo del límite.

Ahora considere el $\sqrt x$ pecado $(\frac{1}{x})$. Por el Cauchy Schwartz desigualdad y el resultado anterior:

| $\sqrt x$ pecado $(\frac{1}{x})$| $\leq$ |$\sqrt x$||el pecado $(\frac{1}{x})$|$\leq$ | $\sqrt x$| < $\epsilon$ donde $\epsilon$ = $\sqrt\delta$ siempre que |x| < $\delta $. Así $lim_{|x|\rightarrow 0}$ $\sqrt x$ el pecado $(\frac{1}{x})$ = 0!

Aquí está el gráfico para justificar nuestro límite visualmente: