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Question

Encontrar el límite $\lim_{x\to 0}(x+\sin x)^{\tan x}.$

Lo intenté:

$\lim{x\to 0}{\tan x}.\ln(x+\sin x)=\lim{x\to 0}\frac{\ln(x+\sin x)}{\cot x}=\lim_{x\to 0}\frac{(1+\cos x)(\cos^2 x)}{-(x+\sin x)}$

Me quedé en este paso.

Answer 1

Sugerencias:

$$\left(x+\sin x)\right)^{\tan x}=e^{\tan x\log(x+\sin x)}$$

Y ahora, usando la regla de l ' Hospital"

$$\lim{x\to 0}\frac{\log(x+\sin x)}{\cot x}\stackrel{\text{l'H}}=\lim{x\to 0}\frac{\frac{1+\cos x}{x+\sin x}}{-\frac1{\sin^2x}}$$

Y

$$\lim{x\to 0}\frac{\sin^2x}{x+\sin x}\stackrel{\text{l'H}}=\lim{x\to 0}\frac{2\sin x\cos x}{1+\cos x}=0$$

Deducir que el límite es de $\;1\;$ con continuidad de la función exponencial

Answer 2

Usted hizo un error en la identidad última, debe ser $$\lim{x\to 0}\frac{\ln(x+\sin x)}{\cot x}=\lim{x\to 0}\frac{(1+\cos x)(-\sin^2 x)}{-(x+\sin x)} y después de otro L'Hopital da % $\lim{x\to 0}\frac{(1+\cos x)(-\sin^2 x)}{-(x+\sin x)}=\lim{x\to 0}\frac{-\sin^3x + (1+\cos x)2\sin x\cos x}{1+\cos x}=0$

Answer 3

$$\lim{x\to0}{\tan x\ln(x+\sin x)}={\lim{x\to0}\dfrac{\ln(x+\sin x)}{\cot x}}\stackrel{\text{L'H}}={\lim{x\to0}\dfrac{\dfrac{1+\cos x}{x+\sin x}}{-\dfrac1{\sin^2x}}}=\lim{x\to0} \left( -\dfrac{\sin^2x(1+\cos x)}{x+\sin x} \right) \stackrel{\text{L'H}}=\lim{x\to0}{\dfrac{\sin^3x-2\sin x\cos x(\cos x+1)}{\cos x+1}}={\lim{x\to0}\sin x(1-3\cos x)}=0$$

Answer 4

Es más sencillo con : $$\tan x \sim_0 x,\quad\ln(x+\sin x)=\ln x + \ln\Bigl(1+\dfrac{\sin x}x\Bigr)\sim_0 \ln x $ $ por lo tanto, $\,\,\tan x\ln(x+\sin x)\sim_0 x\ln x$ que $\,\,\tan x\ln(x+\sin x)\underset{x\to 0}{\longrightarrow}0\,\, $ y$$ (x+\sin x)^{\tan x}\underset{x\to 0}{\longrightarrow} 1.

Answer 5

$$(x+\sin(x))^{\tan(x)}=e^{\tan(x)\ln(x+\sin(x))}$$

Calcular %#% $ #%

Y por encima.