X es infinito si y solamente si X es equivalente a un subconjunto apropiado de sí mismo.

Question

<blockquote> <p>Demostrar que un conjunto de $X$ es infinito si y sólo si $X$ es equivalente a un subconjunto apropiado de sí mismo.</p> </blockquote> <p>Si $X$ es finito, entonces Supongamos que $|X|=n$. Cualquier subconjunto apropiado $Y$ $X$ tiene tamaño $m<n$, y por lo tanto no puede existir cualquier asignación biyectiva entre $Y$y $X$.</p> <p>Si $X$ es infinito numerable, entonces Supongamos que $X=\{x_1,x_2,\ldots\}$. Podemos asignar $X$ $Y=\{x_2,x_3,\ldots\}$ utilizando el mapa $f(x_i)=x_{i+1}$.</p> <p>¿Pero lo que si es uncountably infinito $X$? ¿Cómo podemos especificar la asignación?</p>

Answer 1

La solución estaba en el título anterior: si $X$ es infinito, entonces contiene un subconjunto infinito contable, decir $X_0$. Luego dio un bijection $X_0\to X_0\setminus{x_1}$, que se extiende a una biyección $X\to X\setminus{x_1}$, que actúa como identidad en $X\setminus X_0$.

Answer 2

La respuesta no es si usted no asume el axioma de elección o una versión más débil como opción contable. Si $X$ es un conjunto amorfo, entonces es Dedekind-finito, que es la negación de la propiedad en la pregunta.