Demuestre que todo subconjunto abierto no vacío de un espacio topológico irreducible es denso.
Conozco un lema que afirma que $U \subset$ X es denso si para todo $A \in \tau$ , $A \cap U \neq \emptyset$ .
Entonces dejemos que U sea un conjunto abierto en $(X, \tau_{zar})$ que es irreducible. Entonces quiero demostrar que para todo $A \in \tau$ , $A \cap U \neq \emptyset$ . Pero no sé cómo demostrarlo, ni cómo encaja la irreductibilidad.
Dejemos que $U$ sea un subconjunto abierto no vacío de un espacio topológico irreducible $X$ . Denote por $\overline{U}$ el cierre de $U$ sur $X$ . Entonces $(X - U, \overline{U})$ es una descomposición de $X$ . Porque $X$ es irreducible, uno de estos conjuntos es igual a $X$ . Desde $U$ es no vacía, tenemos $$X \setminus U \neq X \implies \overline{U} = X.$$
"cada dos subconjuntos abiertos no vacíos se cruzan" es una posible definición de espacio topológico irreducible .
@HagenvonEitzen Bueno, él no indicó su definición, así que asumí que es "no puede ser la unión de 2 subconjuntos cerrados adecuados". ¿Por qué iba a hacer esta pregunta si tenía su definición?
Reconocido. Por otra parte, toda "buena" definición debería comenzar con un teorema "Las siguientes propiedades son equivalentes" (por ejemplo, no unión de subconjuntos cerrados adecuados; dos conjuntos abiertos no vacíos se intersectan, cualquier subconjunto abierto no vacío es denso) para motivar una definición posterior "Llamamos a algo ... si tiene una (y por lo tanto todas) de las propiedades anteriores". Así, en una "buena" exposición, el ejercicio debería ser nulo para comenzar con ...
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Quieres decir "... si para todos $A\in \tau$ con $A\ne\emptyset$ , $A\cap U\ne \emptyset$ "(y de hecho esto no es un lema, sino una posible definición de denso .