El subconjunto abierto en el Espacio Topológico Irreducible es denso.

Question

Demuestre que todo subconjunto abierto no vacío de un espacio topológico irreducible es denso.

Conozco un lema que afirma que $U \subset$ X es denso si para todo $A \in \tau$ , $A \cap U \neq \emptyset$ .

Entonces dejemos que U sea un conjunto abierto en $(X, \tau_{zar})$ que es irreducible. Entonces quiero demostrar que para todo $A \in \tau$ , $A \cap U \neq \emptyset$ . Pero no sé cómo demostrarlo, ni cómo encaja la irreductibilidad.

Answer 1

Dejemos que $U$ sea un subconjunto abierto no vacío de un espacio topológico irreducible $X$ . Denote por $\overline{U}$ el cierre de $U$ sur $X$ . Entonces $(X - U, \overline{U})$ es una descomposición de $X$ . Porque $X$ es irreducible, uno de estos conjuntos es igual a $X$ . Desde $U$ es no vacía, tenemos $$X \setminus U \neq X \implies \overline{U} = X.$$

Answer 2

Sólo hay que demostrar que cada dos subconjuntos abiertos no vacíos se intersecan.

Si no es así, toma los complementos para demostrar que el espacio es reducible.