Dilema sobre el valor del límite

Question

$$ \lim_{x\to 0 ^ {+}} \left [\left (1 + \frac {1} {x} \right) ^ x + \left (\frac {1} {x} \right) ^ x + \left (\right \tan (x)) ^ {\frac {1} {x}} \right] $$

Intento: he utilizado $\tan(x)\approx x$ también $(1+n)^{1/n}=e$ asi te dejo %#% cambios #% y lim lim h tendiendo a $x=0+h$. Pero eso me da $0$. Mientras que la respuesta es un número entero entre $e+\infty+h^{1/h}$. ¿Dónde está mi error?. Gracias

Answer 1

Desde que parecen perderse entre infinitesimals, puedo sugerir una manera más segura; cuando exponenciales están involucrados, pasando por el logaritmo es a menudo más simple.

Además, la sustitución de $x=0+h$ es de ninguna consecuencia.

Considere la posibilidad de $$ \lim_{x\to0^+}\log\left(\left(1+\frac{1}{x}\right)^{x}\right)= \lim_{x\to0^+}x\log\left(1+\frac{1}{x}\right)= \lim_{t\to\infty}\frac{\log(1+t)}{t}=0 $$ Por otra parte $$ \lim_{x\to0^+}\log\bigl((1/x)^x\bigr)= \lim_{x\to0^+} x\log x=0 $$ Del mismo modo, $$ \lim_{x\to0^+}\log\bigl((\tan x)^{1/x}\bigr)= \lim_{x\to0^+}\frac{\log\tan x}{x}=-\infty $$ Por lo tanto el límite de $$ 1+1+0 $$

Answer 2

Tenga en cuenta que podemos escribir

$$\begin{align} \left(1+\frac1x\right)^x&=e^{x\log\left(1+\frac1x\right)}\\ &=e^{x\left(\log(1+x)-\log(x)\right)}\\ &=e^{-x\log(x)}e^{x\log(1+x)} \end {Alinee el} $$

Desde $\lim_{x\to 0^+}x\log(x)=0$, encontramos usando la continuidad de la exponencial de la función que

$$\lim_{x\to 0^+}\left(1+\frac1x\right)^x=1$$

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Para evaluar el % de límite $\lim_{x\to 0^+}\left(\frac1x\right)^x$, se procede como antes. Escribimos simplemente

$$\begin{align} \lim{x\to 0^+}\left(\frac1x\right)^x&=\lim{x\to 0^+}e^{-x\log(x)}\\&=1 \end {Alinee el} $$

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Para evaluar el % de límite $\lim_{x\to 0^+}\left(\tan (x)\right)^{1/x}$, utilizamos el enfoque análogo y escribir

$$\lim{x\to 0^+}\left(\tan (x)\right)^{1/x}=\lim{x\to 0^+}e^{\frac1x \log(\tan(x))}$$

Tenga en cuenta $1/x\to \infty$ $\log(\tan(x))\to -\infty$. Por lo tanto, encontrar el producto $\frac1x \log(\tan(x)) \to -\infty$ y

$$\lim_{x\to 0^+}\left(\tan (x)\right)^{1/x}=0$$

Answer 3

Nota primera de todas las que $(\tan x)^{1/x}\to0^\infty=0$$x\to0^+$, por lo que los más difíciles-busca la parte de el límite es en realidad el más fácil. Más formalmente, $0\le\tan x\le1$$0\le x\le\pi/4$$1/x\ge4/\pi\gt1$$0\lt x\le\pi/4$, por lo que

$$0\le(\tan x)^{1/x}\le\tan x\quad\text{for }0\lt x\le{\pi\over4}$$

y por lo tanto $(\tan x)^{1/x}\to0$ $x\to0^+$ por el teorema del sándwich.

Como para el resto de el límite, es conveniente escribir

$$\left(1+{1\over x}\right)^x+\left(1\over x\right)^x={(x+1)^x+1\over x^x}$$

y, a continuación, "distribuir" el límite:

$$\lim_{x\to0^+}\left[\left(1+{1\over x}\right)^x+\left(1\over x\right)^x\right]={\lim_{x\to0^+}((x+1)^x+1)\over\lim_{x\to0^+}(x^x)}={2\over\lim_{x\to0^+}(x^x)}$$

Así que todo lo que queda es demostrar que el $\lim_{x\to0^+}(x^x)=1$, que es equivalente a mostrar

$$\lim_{x\to0^+}x\ln x=0$$

Cómputo de este límite, sin el uso de L'Hôpital se requieren pasos adicionales. Omitiré aquí, a menos que exista una solicitud de comentarios. (Las otras respuestas, veo, tomó este límite por sentado.)