Límite de $\frac{x_{n}}{n}$ si $ x_{n} = \sqrt{{n \over 2} + x_{n - 1}x_{n - 2}\,}$

Question

Vamos real secuencia $\left\{x_{n}\right\}$ tales $x_{0} = x_{1} =1$, y $$ x_{n} = \sqrt{{n \over 2} + x_{n - 1}x_{n - 2}\,}\,,\qquad n \geq 2\,;\qquad \mbox{Buscar}\quad\lim_{n\to\infty}{x_{n} \over n} =\ {\large ?}$$

Yo: $\displaystyle{\mbox{Ya}\quad \left(~x^{2}_{n} = {n \over 2} + x_{n - 1}x_{n - 2} \quad\Longrightarrow\quad 2x^{2}_{n} = n + 2x_{n - 1}x_{n - 2}~\right)}$ y sé que esto $x_{n}$ no tiene forma sencilla. Supongo $\displaystyle{\lim_{n\to \infty}{x_{n} \over n} = {\sqrt{6} \over 6}}$. Así que me pregunto: ¿Cómo encontrar este límite es $\displaystyle{\sqrt{6} \over6}$ ?. Entonces yo no puedo. Gracias. mucho!

Answer 1

Para identificar el límite si se supone que existe, e incluso un poco más, es fácil, pero no debe ser tomado por una prueba de que $x_n/n$ converge.

Es decir, supongamos que una propiedad más fuerte que la convergencia de $x_n/n$ sostiene, a saber, que el $x_{n+1}-x_n$ converge a algunos distinto de cero límite de $\ell$ (cuando esto sucede, $\ell$ es también el límite de $x_n/n$).

A continuación, $x_{n-1}=x_n-\ell+o(1)$ $x_{n-2}=x_n-2\ell+o(1)$ por lo tanto $x_{n-1}x_{n-2}=x_n^2-3\ell x_n+o(x_n)$. Por la identificación $3\ell x_n\sim\frac12n$. Desde $x_n\sim\ell n$, $3\ell^2=\frac12$ por lo tanto $\ell=\frac1{\sqrt6}$.

Una vez más, esto no es una prueba de que $x_n/n$ converge (y no utiliza la condición inicial $x_0=x_1=1$).

Answer 2

Mostrar que

$$ \frac{n}{\sqrt{6}} \leq x_n \leq \frac{n}{\sqrt{6}} + 1 $$

por inducción.

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Adivinar esta desigualdad he realizado un análisis similar Hizo el. He sustituido

$$ x_n = an + b + o(1) $$

en la recurrencia y encontrado para ser coherente a la hora

$$ a = \frac{1}{\sqrt{6}}, $$

y

$$ b = \frac{1}{3} \sqrt{\frac{2}{3}} \approx 0.27, $$

por lo que sería razonable esperar que

$$ x_n = \frac{n}{\sqrt{6}} + \frac{1}{3} \sqrt{\frac{2}{3}} + o(1). $$

Basado en esto, he imaginado que las desigualdades

$$ x_n \geq \frac{n}{\sqrt{6}} \qquad \text{y} \qquad x_n \leq \frac{n}{\sqrt{6}} + x_0 = \frac{n}{\sqrt{6}} + 1 $$

podría sostener, que luego de verificado por inducción.

De hecho, este análisis sugiere que la contracción de la desigualdad

$$ \frac{n}{\sqrt{6}} + \frac{1}{3} \sqrt{\frac{2}{3}} \leq x_n \leq \frac{n}{\sqrt{6}} + 1, $$

que también puede ser demostrado por inducción.