Encontrar dim T null para los operadores nilpotentes

Question

Yo estaba trabajando a través de algunos problemas, cuando me encontré con este que yo estaba teniendo algunos problemas con las.

Suponga que $\dim V = n$. Suponga que $n > 20130520$. Deje $T$ ser un operador de referencia en $V$.

(1) Si $T^{n-1} \neq 0$, $T^n = 0$. Encontrar $\dim \operatorname{null} T$.

(2) Si $T^{n-2} \neq 0$, $T^{n-1} = 0$. Encontrar $\dim \operatorname{null} T$.

Yo no estaba muy seguro de cómo ir sobre esto. Una cosa que estaba pensando era que por (1), el supuesto implica que la $\operatorname{null} T^{n-1} \neq \operatorname{null} T^n$, lo que implicaría que el lado izquierdo sería un subconjunto de la derecha y podría seguir hasta llegar a la $\operatorname{null} T$.

Cualquier sugerencias o consejos se agradece. Gracias de antemano.

Answer 1

No estoy seguro de por qué, $n$ es un gran límite inferior. De todos modos, considere la cadena de subespacios: $$ T^n(V) \subseteq T^{n-1}(V) \subseteq \ldots \subseteq T(V) \subseteq V. $$ Si tenemos $T^{N+1}(V) = T^N(V)$ algunos $i$, $T^n(V) = T^N(V)$ todos los $n \ge N$. Esto significa que si $T^n(V) = 0$$T^{n-1}(V) \ne 0$, debemos tener $$ 0 = \dim T^n(V) < \dim T^{n-1}(V) < \ldots < \dim T(V) < \dim(V) = n. $$ Por simple conteo, debemos tener $\dim T^i(V) = n - i$, lo $\dim \ker T = 1$.

Para el segundo caso, este argumento no es suficiente, ya que sólo se nos dice que $\dim \ker T \le 2$.

Por el conteo de argumento, sabemos que en algún lugar de la cadena, se debe tener $$\dim\ker T|_{T^I(V)} = \dim T^I(V) - \dim T^{I+1}(V) = 2$$ con $I \ge 1$. Pero desde $T^I(V) \subseteq V$, sabemos $$ \dim\ker T|_{T^I(V)} \le \dim\ker T $$ y así $$ 2 \le \dim \ker T. $$ (La afirmación general es que el $\dim \ker T^{i+1}|_{T^i(V)}$ es un no-aumento de la secuencia, y $\sum_{i=0}^{n-1} \dim\ker T^{i+1}|_{T^i(V)} = \dim V = n$ si $T$ es nilpotent.)