Estoy estudiando algunas cosas relacionadas con los ultrafiltros en espacios métricos y topológicos y tratando de demostrar el teorema en un entorno general, por lo que se me ocurrió la siguiente pregunta.
Dejemos que $S$ sea un espacio topológico. ¿Existe un conjunto dirigido natural $(M,\leq)$ para las que las redes $\left\{x_\lambda\right\}_{\lambda\in M}$ describen la topología de $S$ ?
Por "natural", quiero decir que el conjunto dirigido asociado a un espacio métrico, o primero contable, es $\mathbb{N}$ por ejemplo. Si dejamos que $\mathcal{U}_x$ denotan la colección de vecindades abiertas de un punto $x\in S$ ordenados por inclusión inversa ( $U\leq V\iff V\subseteq U$ ), entonces $M=\prod_{x\in S}\mathcal{U}_x$ con el orden del producto es suficiente para describir la topología de $S$ con redes (creo), pero no es exactamente "natural".
La mayoría de las pruebas que conozco de los teoremas que describen la topología de $S$ que utilizan redes suelen considerar, en algún momento, un conjunto dirigido de productos. Cuando se trata de primeros espacios contables, se suele considerar no el conjunto dirigido producto $\mathbb{N}\times\mathbb{N}$ pero la diagonal $\left\{(n,n):n\in\mathbb{N}\right\}$ que de hecho es cofinal en $\mathbb{N}\times\mathbb{N}$ (ver aquí por ejemplo).
