Que $f: [a, b]\to \mathbb R$ ser una función continua tal que para todos los $r\in\mathbb R$, $f(r)$ % es racional iff $r$ es racional. ¿Sigue que $f$ es una función racional?
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
EDIT: se me pasó el "si" en la pregunta original. Como tal, la respuesta no es correcta, que proporciona ejemplos de funciones donde $f(r)$ es racional si $r$ es racional, pero no necesariamente racional,$r$. Funciones lineales a trozos todavía funcionan, a pesar de que, por más complicado ejemplos ver este MathOverflow hilo
No tiene que ser, continuas y definidas a trozos función racional con coeficientes racionales va a hacer esto, también. Y hay incluso más raro funciones, utilizando no muy explícito construcciones. E. g., Cantor demostró que cualquier densamente ordenó contables sin extremos tiene el tipo de orden de los racionales. Así que si usted toma cualquier subconjunto denso $S \subseteq \mathbb{Q}$, no es estrictamente creciente homeomorphism $f:\mathbb{Q} \to S$ que se extiende por continuidad a un homeomorphism de la línea real a sí mismo, el cual se asigna los números racionales a los números racionales. Eligiendo $S$ de formas extrañas, usted puede asegurarse de que $f$ no es una función racional en cualquier intervalo.
