¿Por qué los axiomas de grupo se llaman "axiomas"?

Question

Mi libro dice:

Un grupo es un par ordenado $(G, \cdot)$ donde $G$ es un conjunto y $\cdot$ es una operación binaria que satisface lo siguiente axiomas [el énfasis es mío]:

$\vdots$

¿Por qué no dice

Un grupo es un par ordenado $(G, \cdot)$ donde $G$ es un conjunto y $\cdot$ es una operación binaria que satisface lo siguiente propiedades :

$\vdots$

Hasta donde yo sé, los axiomas son afirmaciones que damos por supuestas; no entiendo por qué los axiomas de grupo son algo que tenemos que dar por supuesto; ya sabemos que existen objetos (como el conjunto de permutaciones de $3$ objetos) que satisfacen esas propiedades.

Incluso si no conociéramos ningún objeto que satisfaga esas propiedades, entonces quizás el axioma debería ser "Existe un objeto que satisface esas propiedades" en lugar de que los axiomas sean las propias propiedades.

Answer 1

Estos axiomas no son los axiomas para el tema de teoría de grupos - son axiomas para la teoría de un grupo .

Cualquier cosa (en la que hemos interpretado la idioma de un grupo) que sea un grupo satisfará todos los teoremas de la teoría de un grupo. A la inversa, cualquier cosa que satisfaga todos los teoremas de la teoría de un grupo la llamaremos grupo.

Los axiomas no son tan profundos como la gente cree; son simplemente una forma de describir y trabajar con teorías. Por ejemplo, cualquier cosa que satisfaga esta lista de axiomas para la teoría de un grupo satisfará todos los teoremas de la teoría de un grupo.

La forma en que se formulan los grupos es una aplicación de teoría de los modelos - formalmente especificamos un lenguaje que incluye una operación binaria, y luego definimos el teoría de un grupo enumerando los axiomas que debe satisfacer la operación binaria.

Entonces, un grupo es un modelo de esta teoría - proporcionamos un conjunto cuyos elementos sirven de objetos y una función que sirve de operación binaria tal que los teoremas de la teoría de un grupo son verdaderos para este conjunto y esta función. (basta con comprobar los axiomas)

En realidad, tiene mucho valor adoptar esta perspectiva de la teoría de modelos en el álgebra abstracta. Si fijamos la definición tradicional de un grupo añadiendo una operación unaria (la inversión) y una constante (la unidad), entonces la teoría de un grupo puede verse como una teoría algebraica : se puede axiomatizar simplemente escribiendo una lista de identidades.

Las teorías algebraicas son el tema de álgebra universal que demuestra teoremas universales que se aplican a una amplia franja de diferentes tipos de teorías algebraicas; por ejemplo, los teoremas de isomorfismo para grupos se aplican realmente a cualquier variedad de álgebra universal.

Answer 2

Los axiomas también son propiedades.

Los avances en algunas de las antiguas conjeturas de las matemáticas se aclararon gracias a esta realización.

Por ejemplo, la cuestión de si el postulado paralelo se desprende del resto de los axiomas de Euclides se resolvió negativamente mediante la construcción de una geometría alternativa, el plano hiperbólico, y demostrando entonces que el postulado paralelo es una falso propiedad del plano hiperbólico, mientras que cada uno de los restantes axiomas de Euclides es una verdadero propiedad del plano hiperbólico.

Para un ejemplo más sencillo, piense en los axiomas de Peano:

1. Cada $n$ tiene un único sucesor $s(n)$ .
2. Si $m \ne n$ entonces $s(m) \ne s(n)$ .
3. Existe un elemento $1$ tal que $n$ es un sucesor de algún otro elemento si y sólo si $n \ne 1$ .
4. Para cada declaración $P(n)$ , si $P(1)$ es verdadero y si $P(n) \implies P(n+1)$ entonces $P(n)$ es cierto para todos los $n$ .

Podemos pensar en ellas como propiedades, y podemos examinar las estructuras matemáticas que satisfacen estas propiedades, o algunas de ellas.

Por ejemplo, los enteros $\mathbb{Z}$ con función de sucesión $s(n)=n+1$ satisface 1 y 2 pero no 3 y 4.

Además, la unión de los números naturales $\mathbb{N}=\{1,2,3,\ldots\}$ con el conjunto de todos los medios enteros $\{...,-\frac{3}{2},-\frac{1}{2},\frac{1}{2},\frac{3}{2},...\}$ y con la función de sucesión $s(n)=n+1$ satisface 1, 2 y 3 pero no 4.

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Tal vez se podría reconfigurar su pregunta para decir algo así: ¿Cuándo llamaríamos a una "propiedad" un "axioma", y cuándo a un "axioma" una "propiedad"?

A grandes rasgos, cuando queremos aceptar simplemente la existencia de estructuras matemáticas que satisfacen unas propiedades dadas, y cuando luego queremos derivar otros teoremas sobre dichas estructuras utilizando sólo argumentos lógicos a partir de esas propiedades dadas, entonces es justo llamarlos "axiomas". Por ejemplo, los comienzos de la mayoría de los textos de teoría de grupos tienen mucho de esto.

Por otro lado, cuando tenemos un conjunto determinado de axiomas, y queremos estudiar ejemplos particulares de estructuras matemáticas para verificar si satisfacen o no esos axiomas, entonces es justo llamarlos "propiedades". Todo buen libro de texto de teoría de grupos que se precie tiene montones y montones de ejemplos reales de grupos concretos, así como contraejemplos en los que fallan algunos de los axiomas de grupo, junto con pruebas de que los axiomas se cumplen o no para esos diversos ejemplos y contraejemplos. En este caso diríamos que los axiomas son "propiedades" de las cosas que se construyen, propiedades que pueden o no ser ciertas.

Answer 3

Cita de Wikipedia : "Un axioma o postulado es una afirmación que se toma como verdadera, para que sirva de premisa o punto de partida para posteriores razonamientos y argumentos". ¿No está de acuerdo en que los axiomas de grupo son puntos de partida?

Answer 4

Los "axiomas" de la geometría se consideraban proposiciones evidentes que expresaban propiedades del espacio físico, por lo que se llamaban "axiomas".

Pero luego se descubrió que hay espacios que satisfacen esos axiomas y otros que no los satisfacen. Y lo mismo ocurre con los grupos. "Axioma", tal y como se utiliza en matemáticas, dejó de significar una proposición evidente y adquirió un significado diferente.

Answer 5

En mi opinión, se trata de definiciones, no de axiomas. Por lo tanto, propiedades es una palabra mejor. Como yo lo veo:

Definición = da un nombre conciso a un objeto complejo. Normalmente sigue el esquema "genus proximum et differentia specifica", como en tu ejemplo de la definición de un grupo.

El axioma = da un hecho sobre un mundo definido, cuyo hecho no puede demostrarse directamente a partir de las definiciones dadas o de los otros axiomas.