Cómo encontrar la suma de series, $$\sum_{k=1}^n 2^kC(n,k)$ $
Respuesta
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Martin OConnor
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Mientras Jasper Loy la respuesta es el canónico, pensé que a la gente le gustaría ver uno diferente.
Supongamos que usted está interesado, por alguna función $f(k)$, en el binomio de la suma
$$B(n) = \sum_{k=0}^n \binom{n}{k} f(k).$$
Luego, tomando a $\Delta f(k) = f(k+1) - f(k)$, denotan $A(n)$ por
$$A(n) = \sum_{k=0}^n \binom{n}{k} \Delta f(k).$$
Es bastante fácil demostrar que $B(n+1) - 2B(n) = A(n)$ con condición inicial $B(0) = f(0)$. Véase, por ejemplo, el Teorema 2 en mi trabajo "Combinatoria Sumas y Diferencias Finitas," Matemáticas Discretas, 307 (24): 3130-3146, 2007.
En el OP pregunta, $f(k) = 2^k$, y, por supuesto, $\Delta f(k) = 2^k$. Por lo $A(n) = B(n)$, y por lo tanto la suma de $B(n) = \sum_{k=0}^n \binom{n}{k} 2^k$ se puede encontrar mediante la resolución de la simple recurrencia $B(n+1) = 3B(n)$ con condición inicial $B(0) = 1$.
Por cierto, este enfoque también puede ser usado para demostrar el teorema del binomio sí mismo por entero no negativo los valores de $n$. Ver 1 de Identidad en el papel.
Durante más de dos ejemplos de la utilización de diferencias finitas para evaluar el binomio sumas de dinero, de ver esta respuesta , y esta respuesta a la anterior de matemáticas.SE pregunta.
