Imagen de la esfera de Riemann

Question

Dejemos que $S$ sea la esfera de Riemann (la esfera unitaria en $\mathbb{R}^3$ ) y $\psi: S \rightarrow \mathbb{C}$ se define por $$\psi(x_1, x_2, x_3)=\frac{x_1 + ix_2}{1-x_3}.$$ Dejemos que $\pi$ sea un plano en $\mathbb{R}^3$ tal que la intersección con $S$ no está vacío. Demuestre que $\psi(\pi \cap S)$ es una línea o una circunferencia en $\mathbb{C}$ .

Es fácil ver que si el plano tiene el vector normal $(0,0,k)$ La imagen es una circunferencia. Pero no puedo generalizar el resultado.

Answer 1

En primer lugar, observamos que $\psi$ tiene una función inversa, dada por $$ \psi^{-1}(x + iy) = \left(\frac{2x}{x^2 + y^2 + 1}, \frac{2y}{x^2 + y^2 + 1}, \frac{x^2 + y^2 - 1}{x^2 + y^2 + 1}\right). $$ Dejemos ahora $P$ sea un plano en $\mathbb R^3$ dado por $$ P := \left\{ (x_1, x_2, x_3) \in \mathbb R^3 \middle| \sum_{j=1}^3 a_j x_j = b \right\}. $$ En primer lugar, cubrimos el caso en el que el polo norte (es decir, el vector $(0, 0, 1)$ ) no está contenida en el plano. Esto implica que $a_3 \neq b$ ya que, de lo contrario, el polo norte estaría contenido. Sea $x \in P \cap S_2$ . Si $a := (a_1, a_2, a_3)$ tenemos debido a la desigualdad de Cauchy-Schwarz $$ a \cdot x \le \|a\| \|x\| = \|a\| $$ y por lo tanto, ya que $x \in P$ , $$ \sqrt{\sum_{j=1}^3 a_j^2} \ge b \Rightarrow \sum_{j=1}^3 a_j^2 \ge b^2 \\ \Rightarrow a_1^2 + a_2^2 \ge b^2 - a_3^2 \ge (b - a_3)(b + a_3) \\ \Rightarrow \frac{a_1^2 + a_2^2}{(a_3 - b)^2} + \frac{b + a_3}{a_3 - b} \ge 0. $$

Ahora bien, si $x + iy$ está contenida en $\psi(P)$ entonces tenemos $$ a_1 \frac{2x}{x^2 + y^2 + 1} + a_2 \frac{2y}{x^2 + y^2 + 1} + a_3 \frac{x^2 + y^2 - 1}{x^2 + y^2 + 1} = b. $$

Queremos que sea una ecuación circular, es decir, una ecuación de la forma $$ (x - \lambda)^2 + (y - \mu)^2 = r $$ para algunos $\lambda, \mu \in \mathbb R$ y $r \in \mathbb R_{\ge 0}$ . Por lo tanto, agrupamos todos los términos de $x$ y $y$ juntos y completar los cuadrados: $$ a_1 \frac{2x}{x^2 + y^2 + 1} + a_2 \frac{2y}{x^2 + y^2 + 1} + a_3 \frac{x^2 + y^2 - 1}{x^2 + y^2 + 1} = b \\ \Leftrightarrow 2 a_1 x + 2 a_2 y + a_3 x^2 + a_3 y^2 - a_3 = b (x^2 + y^2 + 1) \\ \Leftrightarrow (a_3 - b) x^2 + 2 a_1 x + (a_3 - b) y^2 + 2 a_2 y = b + a_3 \\ \Leftrightarrow x^2 + 2 x \frac{a_1}{a_3 - b} + y^2 + 2 y \frac{a_2}{a_3 - b} = \frac{b + a_3}{a_3 - b} \\ \Leftrightarrow \left( x - \frac{a_1}{a_3 - b} \right)^2 + \left( y - \frac{a_2}{a_3 - b} \right)^2 = \frac{b + a_3}{a_3 - b} + \frac{a_1^2 + a_2^2}{(a_3 - b)^2} $$

Ahora consideramos el caso $b = a_3$ . Entonces tenemos $$ a_1 \frac{2x}{x^2 + y^2 + 1} + a_2 \frac{2y}{x^2 + y^2 + 1} + a_3 \frac{x^2 + y^2 - 1}{x^2 + y^2 + 1} = b \\ \Leftrightarrow 2 a_1 x + 2 a_2 y + a_3 x^2 + a_3 y^2 - a_3 = b (x^2 + y^2 + 1) \\ \Leftrightarrow 2 a_1 x + 2 a_2 y = b + a_3, $$ que define una línea.