Intuición detrás de la tasa de riesgo

Question

Me confunde la ecuación que sirve de definición de la tasa de riesgo. Me hago una idea de lo que es la tasa de riesgo, pero no veo cómo la ecuación expresa esa intuición.

Si $x$ es una variable aleatoria que representa el momento de la muerte de alguien en un intervalo de tiempo $[0,T]$ . Entonces la tasa de riesgo es:

$$h(x)=\frac{f(x)}{1-F(x)}$$

Dónde $F(x)$ representa la probabilidad de muerte hasta el punto temporal $x\in[0,T]$ ,
$1-F(x)$ representa la probabilidad de haber sobrevivido hasta el punto temporal $x\in[0,T]$ ,
y $f(x)$ es la probabilidad de muerte en el punto $x$ .

¿Cómo se divide $f(x)$ por la tasa de supervivencia explican la intuición de la probabilidad de muerte instantánea en el próximo $\Delta t$ ? ¿No debería ser simplemente $f(x)$ ¿haciendo trivial el cálculo de la tasa de riesgo?

Answer 1

Sea $X$ denote la hora de la muerte (o la hora de la avería si usted prefiere una descripción menos morbosa). Supongamos que $X$ es un continuo al azar cuya función de densidad $f(t)$ es distinto de cero sólo en $(0,\infty)$ . Ahora, observe que debe sea el caso que $f(t)$ se descompone en $0$ como $t \to \infty$ porque si $f(t)$ no se descompone como se ha dicho, entonces $\displaystyle \int_{-\infty}^\infty f(t)\,\mathrm dt = 1$ no puede sostenerse. Por lo tanto, su idea de que $f(T)$ es la probabilidad de muerte en el momento $T$ (en realidad, es $f(T)\Delta t$ es decir (aproximadamente) la probabilidad de muerte en el corto intervalo $(T, T+\Delta t]$ de longitud $\Delta t$ ) lleva a conclusiones inverosímiles e increíbles como

Y que con noventa y ocho años.

siempre que $f(t)$ es tal que $f(30) > f(98)$ .

La razón $f(T)$ (o $f(T)\Delta t$ ) es la probabilidad "incorrecta es que el valor de $f(T)$ sólo es de interés para quienes vivo a la edad de $T$ (y todavía lo suficientemente alerta mentalmente para leer regularmente stats.SE). Lo que hay que mirar es la probabilidad de que $T$ -de un año que morirá en el próximo mes, es decir,

\begin{align}P\{(X \in (T, T+\Delta t] \mid X \geq T\} &= \frac{P\{\left(X \in (T, T+\Delta t]\right) \cap \left(X\geq T\right)\}}{P\{X\geq T\}} & \\ \scriptstyle{ \text{ definition of conditional probability}}\\ &= \frac{P\{X \in (T, T+\Delta t]\}}{P\{X\geq T\}}\\ &= \frac{f(T)\Delta t}{1-F(T)} & \\ \scriptstyle{ \text{because }X\text{ is a continuous rv}} \end{align}

Elegir $\Delta t$ ser una quincena, una semana, un día, una hora, un minuto, etc. llegamos a la conclusión de que el peligro (instantáneo) instantáneo para un $T$ -year old is

$$h(T) = \frac{f(T)}{1-F(T)}$$

en el sentido de que el aproximado probabilidad de muerte en el próximo femtosegundo $(\Delta t)$ de un $T$ -year old is $\displaystyle \frac{f(T)\Delta t}{1-F(T)}.$

Obsérvese que, a diferencia de la densidad $f(t)$ integrar a $1$ , el integral $\displaystyle \int_0^\infty h(t)\, \mathrm dt$ deben divergir. Esto se debe a que el FCD $F(t)$ está relacionada con la tasa de riesgo a través de

$$F(t) = 1 - \exp\left(-\int_0^t h(\tau)\, \mathrm d\tau\right)$$ y puesto que $\lim_{t\to \infty}F(t) = 1$ debe ser que $$\lim_{t\to \infty} \int_0^t h(\tau)\, \mathrm d\tau = \infty,$$ o dicho más formalmente, la integral de la tasa de riesgo debe divergen: no hay potencial divergencia como afirmaba una edición anterior.

Los índices de peligrosidad típicos son funciones crecientes del tiempo, pero tasas de peligrosidad constantes (vidas exponenciales) son posibles. Ambos tipos de tasas de riesgo tienen, obviamente, integrales divergentes. Una situación menos habitual (para los que creen que las cosas mejoran con la edad, como el buen vino) es una tasa de peligrosidad que disminuye con el tiempo, pero lo suficientemente despacio como para que la integral diverja. que la integral diverge.

Answer 2

Imagine que está interesado en la incidencia del (primer) matrimonio de los hombres. Para observar la incidencia del matrimonio a los 20 años, por ejemplo, seleccionaría una muestra de personas que no están casadas a esa edad y vería si se casan durante el año siguiente (antes de cumplir los 21).

El usted podría obtener una estimación aproximada de $$ P(\mathrm{marry\,\, before\,\, 21}| \mathrm{not\,\, married \,\,at\,\, 20}) $$ como la proporción de individuos que se casaron de su muestra de solteros de 20 años, es decir $$ \frac{N(\mathrm{married \,\,before \,\,21\,\, and \,\, not\,\,married\,\, at \,\, 20})}{N(\mathrm{not\,\, married\,\, at\,\, 20})} $$

Básicamente se trata de utilizar la definición de probabilidad condicional, $$ P(X|Y) = \frac{P(X,Y)}{P(Y)}. $$ Ahora imaginemos que hacemos la unidad de edad cada vez más pequeña, hasta días por ejemplo. Es decir, ¿cuál es la incidencia del matrimonio a la edad de 7300 días? Entonces se haría lo mismo, pero se encuestaría a todos los individuos de 7300 días y se miraría quién se casa antes del final del día. Si $T$ es una variable aleatoria edad al casarse, entonces podríamos escribir $$ P(T \leq 7301)| T \geq 7300) = \frac{P(T \in [7300, 7301))}{P(T \geq 7300)} $$ por la misma lógica que antes.

El riesgo sería entonces la probabilidad instantánea de matrimonio a la edad $t$ para una persona no casada. Podemos escribirlo como $$ h(t) dt= P(T \in [t, t+dt) | T\geq t) = \frac{P(T \in[t, t+dt))}{P(T \geq t)} $$

Answer 3

$f(x)$ no es la probabilidad de muerte, sino la densidad de probabilidad; el número esperado de veces que mueres en la siguiente unidad de tiempo si la densidad de probabilidad permaneciera constante durante esa unidad de tiempo.

Observa que hay un problema: tu probabilidad de morir cuando ya has muerto antes es bastante problemática. Así que tiene más sentido calcular la probabilidad de morir condicional por haber sobrevivido hasta ahora. $1-F(t)$ la probabilidad de haber sobrevivido hasta $t$ por lo que dividiendo la densidad de probabilidad por esa probabilidad, obtendremos el número esperado de veces que moriremos en la próxima unidad de tiempo condicionado a no haber muerto antes. Es la tasa de riesgo.

Answer 4

"La muerte de una persona es una tragedia, la muerte de millones es estadística" - José Stalin

El índice de peligrosidad no es más que una renormalización del espacio de probabilidades que toma pálidas estadísticas impersonales de entrada y las convierte en tus propias posibilidades de vivir un día más.

Supón que eres un joven normal en el Salvaje Oeste. Decides seguir la cuestionable carrera de asaltante de trenes.

Supongamos que la probabilidad de que un tipo medio sobreviva a su primer atraco a un tren es de $\frac{1}{2}$ . Después de eso te vuelves un poco más experimentado y para tu segundo robo de tren tu probabilidad de sobrevivir es $\frac{2}{3}$ . Ahora, usted es aún más experimentado y para el tercer intento la probabilidad de supervivencia es $\frac{3}{4}$ .

Así que la noche antes de tu tercer atraco te preguntarás si merece la pena correr el riesgo de morir con un 25% de posibilidades mañana, o si prefieres abandonar por completo los atracos a trenes y seguir adelante para iniciar una carrera en el mundo de las finanzas.

El dato que te interesa para hacerte esta pregunta es la probabilidad de sobrevivir mañana, que es la tasa de Hazard.

Por desgracia, es imposible obtener datos sobre sus probabilidades en la vida real. Lo que puedes hacer en su lugar es echar un vistazo a la función de distribución acumulativa $F(t)$ de la esperanza de vida de un ladrón de trenes, o, más bien su contrapartida $S(t) = 1-F(t)$ llamada función de supervivencia:

Función de masa de probabilidad (que es un análogo de caso discreto de la función de densidad de probabilidad continua) de morir en su tercer robo $p(\xi = 3) = \frac{1}{8}$ . Podemos reformularlo más o menos como un problema continuo $p(3 \leq \xi < 4) = F_\xi(3) - F_\xi(4) = f_\xi(3)dx$ donde $\xi$ es una variable aleatoria que indica el número de robos a los que sobrevive un asaltante de trenes medio, $dx=1$ , $F_\xi(x)$ es la función de probabilidad acumulada y $f_\xi(x)$ es la función de densidad de probabilidad.

Como ves, la función de densidad de probabilidad/función de masa de probabilidad responde a una pregunta errónea. Dice que de todos los ladrones de trenes reincidentes la fracción que muere en su tercer robo es ( $\frac{1}{8}$ ). Pero la pregunta que quieres hacer es: si mañana voy a por mi tercer robo, ¿qué posibilidades tengo de sobrevivir a él, y la respuesta que quieres es $(\frac{3}{4})$ .

Ahora, empecemos a formalizar esto. Para una variable de tiempo discreto, la función Hazard es tu probabilidad de morir durante tu próximo robo número $t$ :

$\underbrace{S(t) - S(t+1)}_\text{fraction of train robbers who die at t} = \underbrace{\lambda(t)}_\text{hazard function at t} \cdot \underbrace{S(t)}_\text{fraction of survivors by t} \ cdot \delta t$

Así, la función de peligro se define como

$\lambda(t) = \frac{-\delta S(t)}{\delta t \cdot S(t)}$

O, en el caso de tiempo continuo

$\lambda(t) = \frac{-\partial S(t)}{\partial t \cdot S(t)} = \frac{f(t)}{S(t)}$

Tasa de riesgo acumulada $\Lambda(t)$ es algo curioso. Esencialmente enumera y suma todas las posibilidades de muerte de las que escapaste en el momento actual. Así, por ejemplo, en tu primer atraco al tren tenías una posibilidad de morir de $1/2$ , en el segundo - $1/3$ , en la tercera - $1/4$ .

Así que para cuando empieces a contemplar tu cuarto robo, el "número de muertes" que merecías a estas alturas $\Lambda(t) = 1/2 + 1/3 + 1/4 = 1.083333$ ...así que en un mundo justo ya estarías más que muerto, ejerciendo tu suerte tan fácilmente...