Acerca de "La ley de la tricotomía para números reales"

Question

Debo probar la "Ley de la tricotomía para números reales":

• Prop. 1 que sea $ \Bbb {R}$ un campo ordenado completo, entonces $$ \forall x,y \in \Bbb {R}(x=y \vee x < y \vee x > y)$$
• Prueba 1 por definición de $ \Bbb {R} $ , $ \geq $ (o $ \leq $ ) es relación total por lo tanto $$ \forall x,y \in \Bbb {R}(x \geq y \vee x \leq y) $$ pero $x \geq y \leftrightarrow x=y \vee x >y$ entonces $$ \forall x,y \in \Bbb {R}(x < y \vee x > y \vee x=y) $$

Pero ( Prop. 2 ) $ \forall x,y \in \Bbb {R}$ exactamente una de las siguientes posibilidades:

• $x=y$
• $x<y$
• $x>y$

por lo tanto $$ \forall x,y \in \Bbb {R}( \mbox { or } x=y \mbox { or } x < y \mbox { or } x > y)$$ donde $( \mbox { or } x=y \mbox { or } x < y \mbox { or } x > y)$ es "lógicamente" CLIC ...

¿Cómo puedo probar el Prop. 2 ? Pensé que la prueba era lo siguiente:

• $x=y \leftrightarrow x \ngtr y \wedge x \nless y$
• $x <y \leftrightarrow x \neq y \wedge x \ngtr y$
• $x>y \leftrightarrow x \neq y \wedge x \nless y$

porque CLIC es equivalente a eq_CLIC

¿Es correcto? ¡Gracias de antemano!

Answer 1

Si lo miras así:

• $x=y \leftrightarrow (x \le y \wedge y \le x)$
• $x<y \leftrightarrow x \le y \wedge \neg(x \le y \wedge y \le x)$
• $x>y \leftrightarrow y \le x \wedge \neg(x \le y \wedge y \le x)$

Combinando dos cualesquiera se obtendrá un $(x \le y \wedge y \le x)$ y un $\neg(x \le y \wedge y \le x)$

También desde $\le$ es una relación total, si $(x \le y \wedge y \le x)$ es falsa, una de las dos últimas debe ser cierta. Por lo tanto, al menos una de las tres es cierta.