Todas las variables son reales positivos.
Se trata de un problema de competencia de matemáticas. He intentado resolverlo usando optimización de valor de límite, pero no es elegante en todos.
Gracias por cualquier idea.
Respuesta
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Podemos establecer $x=\sin^2(\alpha)\sin^2(\beta)$, $y=\sin^2(\alpha)\cos^2(\beta)$, $z=\cos^2(\alpha)$ y el problema se reduce a encontrar el máximo de
$$ \sin^{12}(\alpha)\sin^6(\beta)\cos^6(\beta)+\sin^6(\alpha)\sin^6(\beta)\cos^6(\alpha)+\sin^6(\alpha)\cos^6(\beta)\cos^6(\alpha) $$ más de $(\alpha,\beta)\in\left[0,\frac{\pi}{2}\right]^2$. Eche un vistazo a nuestro amigo:
$\hspace{1in}$
Es tedioso, pero factible, para comprobar que el único punto fijo en el interior del dominio de es $\left(\frac{\pi}{4},\frac{\pi}{4}\right)$ pero no es un máximo relativo (mediante el cálculo de la matriz hessiana). Por lo que el máximo se alcanza en la frontera y sólo tenemos que estudiar cuatro de una variable funciones para conseguir que el máximo es de $\color{red}{\large\frac{1}{64}}$ y es alcanzado en $(x,y,z)=\left(0,\frac{1}{2},\frac{1}{2}\right)$ cíclico y turnos.
