¿Por qué $x$, $x^3+1$ y $x^2+x+1$ siempre mutuamente co primera, para cualquier número natural $x$?

Question

Acabo de leer que para un número natural $x$, el % de tres números $x$, $x^3 + 1$ y $x^2 + x + 1$ son todas mutuamente co prime.

No pude encontrar una razón por qué esto es cierto. OK, alguno de ellos no divide a ninguno de los otros dos, pero es suficiente para concluir que su MCD es 1?

¿No tienen algún factor común?

¿También sobre qué base son dos enteros consecutivos Co prime? Sé que no pueden tener un factor común, pero no saben por qué.

Answer 1

Vemos que el mcd de a $m$ $n$ siempre divide a cualquier expresión de la forma $am+bn$ desde $m=ck, n=cj\implies c|(am+bn)=c(ak+bj)$. Se coprime significa que el mcd es $1$, así que vamos a mostrar esto.

Caso 1: Para $m=x$ $n=x^3+1$ vemos con $a=-x^2$ $b=1$ hemos

$$-x^3+x^3+1=1$$

por lo que son coprime.

Caso 2: Para $m=x$ $n=x^2+x+1$ ver $a=-(x+1)$ $b=1$ da

$$-x^2-x+x^2+x+1=1$$

que verifica coprimality.

Caso 3: Finalmente, con la $m=x^2+x+1$ $n=x^3+1$ vemos que $a=(x-1)$ $b=-1$ nos da

$$-x^3+1+x^3+1=2$$

de modo que $\gcd(x^2+x+1,x^3+1)\big|2$. Pero $x^2+x+1$ es siempre impar, por lo que el mcd debe ser $1$.

Answer 2

Para tu segunda pregunta, decir, $x$ y $x+1$ tiene un común factor $d$. Entonces considere

$$(x+1)-x = 1$$

El lado izquierdo es un múltiplo de $d$, por lo que el lado derecho también debe tener $d$ como un factor. Entonces $d$ sólo puede ser $1$.

Answer 3

En general $\gcd(a,b)=\gcd(b,a)$ y $\gcd(a,b)=\gcd(a,b-ca)$ (¿entiendes por qué?).

La aplicación que da: $$\gcd(x,x^3+1)=\gcd(x,1)=1$$ and: $$\gcd(x,x^2+x+1)=\gcd(x,1)=1$$ Also $$\gcd(x^3+1,x^2+x+1)=\gcd(-x^2-x+1,x^2+x+1)=\gcd(2,x^2+x+1)$$ and $x ^ 2 + x +1 $ is odd for each integer $x$.

Esto permite la conclusión que $\gcd(x^3+1,x^2+x+1)=1$

Answer 4

Si entero $d$ divide ambos $x^2+x+1, x^3+1;$

$d$ debe dividir $x(x^2+x+1)-(x^3+1)=x^2+x-1$

$\implies d$ debe dividir $x^2+x+1-(x^2+x-1)=2$

Pero extraño $2\mid x(x+1)\implies x^2+x\pm1=x(x+1)\pm1$ $\implies d=1$