%#% $ De #% demostrar que el polinomio dado tiene 2 raíces que satisfacen la condición: $$ X^5-55X+21$ $ y encontrarlos. He tratado de hacer uso de Viette de relaciones, pero no pudo llegar a un resultado satisfactorio.
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ccorn
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David HAust
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La solución no tiene que ser sacado del sombrero como por arte de magia. Más bien, se puede descubrir por la explotación de los innata de la reciprocidad de simetría, es decir, si ambos $\,x_1$ $\,x_2 = x_1^{-1}$ son raíces de $f(x)$
$ 0 = f(x_2) = f(x_1^{-1})\,\Rightarrow\,0 = x_1^5f(x_1^{-1}) = 1\!-55x_1^4\!+21x_1^5 = \tilde f(x_1) = \,$ inversa de a $f(x_1)$
Por lo tanto, $\,x_1\,$ es una raíz de $\,g(x) := \gcd(f(x),\tilde f(x))\,$ desde $\,g(x) = a(x) f(x) + b(x) \tilde f(x)$
por el Bezout mcd de identidad. Por Euclides el mcd $= x^2\!-3x +\color{#c00}1$ cuyas raíces han de producto $= \color{#c00}1$.
Comentario $\ $ Tal simetría de la inversión a menudo resulta útil, por ejemplo, ver aquí.
En general es prudente tratar de aprovechar cualquier innata simetría antes de zambullirse de cabeza en difícil la fuerza bruta de los cálculos. Por ejemplo, para los problemas de la anterior especie es mucho más eficiente para calcular el polinomio de gcds que para calcular el polinomio de factorizations. Siga el enlace antes de que muchos más ejemplos de tales simetría explota.
user340508
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$$ x^5-55x+21=(x^2-3x+1)(x^3+3x^2+8x+21)$$
No es difícil demostrar que $x^3+3x^2+8x+21$ tiene sólo 1 raíz real, negativo (sólo por curiosidad, no necesitaremos lo), mientras que $x^2-3x+1$ tiene 2 raíces positivas: $\frac{3\pm\sqrt{5}}{2}$.
Resulta que estos 2 raíces son buenas para nosotros: $$\frac{3+\sqrt{5}}{2}\cdot\frac{3-\sqrt{5}}{2}=1$ $
