Derivado de la función sigmoidea $ \sigma (x) = \frac {1}{1+e^{-x}}$

Question

En mi libro de texto de la IA hay este párrafo, sin ninguna explicación.

La función sigmoidea se define de la siguiente manera

$$ \sigma (x) = \frac {1}{1+e^{-x}}$$

Esta función es fácil de diferenciar porque

$$ \frac {d \sigma (x)}{d(x)} = \sigma (x) \cdot (1- \sigma (x))$$

Hace mucho tiempo que no tomo ecuaciones diferenciales, ¿alguien podría decirme cómo pasaron de la primera a la segunda ecuación?

Answer 1

Denotemos la función sigmoidea como $\sigma(x) = \dfrac{1}{1 + e^{-x}}$ .

La derivada de la sigmoidea es $\dfrac{d}{dx}\sigma(x) = \sigma(x)(1 - \sigma(x))$ .

Aquí hay una derivación detallada:

$$ \begin{align} \dfrac{d}{dx} \sigma(x) &= \dfrac{d}{dx} \left[ \dfrac{1}{1 + e^{-x}} \right] \\ &= \dfrac{d}{dx} \left( 1 + \mathrm{e}^{-x} \right)^{-1} \\ &= -(1 + e^{-x})^{-2}(-e^{-x}) \\ &= \dfrac{e^{-x}}{\left(1 + e^{-x}\right)^2} \\ &= \dfrac{1}{1 + e^{-x}\ } \cdot \dfrac{e^{-x}}{1 + e^{-x}} \\ &= \dfrac{1}{1 + e^{-x}\ } \cdot \dfrac{(1 + e^{-x}) - 1}{1 + e^{-x}} \\ &= \dfrac{1}{1 + e^{-x}\ } \cdot \left( \dfrac{1 + e^{-x}}{1 + e^{-x}} - \dfrac{1}{1 + e^{-x}} \right) \\ &= \dfrac{1}{1 + e^{-x}\ } \cdot \left( 1 - \dfrac{1}{1 + e^{-x}} \right) \\ &= \sigma(x) \cdot (1 - \sigma(x)) \end{align} $$

Answer 2

Considere $$ f(x)=\dfrac{1}{\sigma(x)} = 1+e^{-x} . $$ Entonces, por un lado, la regla de la cadena da $$ f'(x) = \frac{d}{dx} \biggl( \frac{1}{\sigma(x)} \biggr) = -\frac{\sigma'(x)}{\sigma(x)^2} , $$ y por otro lado, $$ f'(x) = \frac{d}{dx} \bigl( 1+e^{-x} \bigr) = -e^{-x} = 1-f(x) = 1 - \frac{1}{\sigma(x)} = \frac{\sigma(x)-1}{\sigma(x)} . $$ Equiparar las dos expresiones, y ¡voilà!

(Véase también esta respuesta .)

Answer 3

Tenga en cuenta que de su ecuación dada,

$(1+e^{-x})\sigma=1$

$\Rightarrow -e^{-x}\sigma+(1+e^{-x})\frac{d\sigma}{dx}=0$ (diferenciando mediante regla del producto )

$\Rightarrow \frac{d\sigma}{dx}=\sigma.\frac{e^{-x}}{(1+e^{-x})}=\sigma.\frac{(1+e^{-x})-1}{(1+e^{-x})}=\sigma.\left[1-\frac{1}{(1+e^{-x})}\right]=\sigma.(1-\sigma)$

Answer 4

Desde $\sigma(x)$ es una función compuesta, en primer lugar tenemos que utilizar regla de la cadena para profundizar en el término x, entonces podemos factorizar de nuevo a la $\sigma(x)$ fucción: $$ \begin{align} \frac{d}{dx}\sigma(x) &= (\frac{1}{1+e^{-x}})' \\ &= -\frac{1}{(1+e^{-x})^{2}} \cdot (1) \cdot -e^{-x} \\ &= \frac{e^{-x}}{(1+e^{-x})^{2}}, \\ \because \sigma(x) &= \frac{1}{1+e^{-x}}, \\ e^{-x} &= \frac{1 - \sigma(x)}{\sigma(x)}, \\ 1+e^{-x} &= \frac{1}{\sigma(x)}; \\ \therefore \frac{d}{dx}\sigma(x) &= \frac{\frac{1 - \sigma(x)}{\sigma(x)}}{(\frac{1}{\sigma(x)})^{2}} \\ &= (1 - \sigma(x)) \cdot \sigma(x) \end{align}$$

Answer 5

Digamos que queremos encontrar la derivada de $y=(x)=(1+\exp(x))^{1}$ . Así que tenemos:

$$ \begin{align} \frac{dy}{dx} & = (-1)(1 + \exp(-x))^{-2} \frac{d}{dx}(1 + \exp(-x)) \\ \\ & = (-1)(1 + \exp(-x))^{-2}(0 + \frac{d}{dx}\exp(-x)) \\ \\ & = (-1)(1 + \exp(-x))^{-2}(\exp(-x)) \frac{d}{dx}(-x) \\ \\ & = (-1)(1 + \exp(-x))^{-2}(\exp(-x))(-1) \\ \\ & = \frac{\exp(-x)} {(1 + \exp(-x))^2} \\ \\ & = \frac{1 + \exp(-x) -1} {(1 + \exp(-x))^2} \\ \\ & = \frac{1 + \exp(-x)} {(1 + \exp(-x))^2} - \frac{1} {(1 + \exp(-x))^2} \\ \\ & = \sigma(x) - (\sigma(x))^2 \\ \\ & = \sigma(x) \cdot (1 - \sigma(x)) \end{align} $$