Quiero obtener el PDE para el modelo Black-76. Creo que tiene que ser el siguiente PDE:
$$ \left ( \frac { \partial V}{ \partial t}+ \frac {1}{2} \sigma ^{2}F^{2} \frac { \partial ^{2} V}{ \partial F^{2}} \right )dt-rV=0.$$
Sé que el modelo PDE de Black-Scholes está dado por: $$ \left ( \frac { \partial V}{ \partial t}+ \frac {1}{2} \sigma ^{2}S^{2} \frac { \partial ^{2} V}{ \partial S^{2}}+rS \frac { \partial V}{ \partial S} \right )dt-rV=0.$$
Aquí empiezas con el proceso de movimiento Browniano geométrico, $dS_{t}= \mu S_{t}dt+ \sigma S_{t}dW_{t}$ . Además, se considera una estrategia comercial bajo la cual uno tiene una y continuamente comercia con las acciones para mantener algunas $ \Delta $ acciones.
Lo que he hecho hasta ahora:
Ahora empiezo con el proceso: $dF= \sigma F_{t} dW_{t}$ . Por el lema de Ito tengo
\begin {alinear} dV &= \frac { \partial V}{ \partial F}dF+ \frac { \partial V}{ \partial t}dt+ \frac {1}{2} \frac { \partial ^{2} V}{ \partial F^{2}}dF^{2} \\ &= \frac { \partial V}{ \partial F} \sigma F dW+ \frac { \partial V}{ \partial t}dt+ \frac {1}{2} \frac { \partial ^{2} V}{ \partial F^{2}}( \sigma F dW)^{2} \\ &= \frac { \partial V}{ \partial F} \sigma F dW+ \frac { \partial V}{ \partial t}dt+ \frac {1}{2} \frac { \partial ^{2} V}{ \partial F^{2}} \sigma ^{2} F^{2} dt \\ &= \left ( \frac { \partial V}{ \partial t}+ \frac {1}{2} \frac { \partial ^{2} V}{ \partial F^{2}} \sigma ^{2} F^{2} \right )dt+ \frac { \partial V}{ \partial F} \sigma F dW. \end {alinear}
Ahora utilizo la misma estrategia de cobertura que en el caso de la Escuela Negra, así que lo he hecho: $$ \Pi =V- \Delta F \Rightarrow d \Pi =dV- \Delta dF.$$
Así que lo he hecho: \begin {alinear} d \Pi &= dV- \Delta dF \\ &= \left ( \frac { \partial V}{ \partial t}+ \frac {1}{2} \frac { \partial ^{2} V}{ \partial F^{2}} \sigma ^{2} F^{2} \right )dt+ \frac { \partial V}{ \partial F} \sigma F dW- \Delta dF \\ &= \left ( \frac { \partial V}{ \partial t}+ \frac {1}{2} \frac { \partial ^{2} V}{ \partial F^{2}} \sigma ^{2} F^{2} \right )dt+ \frac { \partial V}{ \partial F} \sigma F dW- \Delta ( \sigma F dW) \end {alinear} Así: $$ \Delta = \frac { \partial V}{ \partial F}$$ También $d \Pi =r \Pi dt$ así que..:
$$r \Pi dt = \left ( \frac { \partial V}{ \partial t}+ \frac {1}{2} \frac { \partial ^{2} V}{ \partial F^{2}} \sigma ^{2} F^{2} \right )dt.$$
La integración da:
$$ \frac { \partial V}{ \partial t}+ \frac {1}{2} \frac { \partial ^{2} V}{ \partial F^{2}} \sigma ^{2} F^{2}-r \Pi = 0$$
Ahora $$ \Pi =V- \Delta F=V- \frac { \partial V}{ \partial F}F,$$ así que tenemos
$$ \frac { \partial V}{ \partial t}+ \frac {1}{2} \frac { \partial ^{2} V}{ \partial F^{2}} \sigma ^{2} F^{2}-rV+ \frac { \partial V}{ \partial F}rF = 0$$
Este es el PDE de los Black-Scholes, no el PDE de los Black. ¿Qué estoy haciendo mal? ¿Cómo consigo el PDE correcto?
