Deje $(X,\geq)$ ser un conjunto parcialmente ordenado. Supongamos que
- cualquier no-vacío es subconjunto de a $X$ tiene un supremum en $X$ con respecto a la orden $\geq$;
- $X$ tiene un máximo de elemento: $\exists \overline x\in X:\overline x\geq x\,\,\forall x\in X$;
- $X$ tiene un mínimo elemento: $\exists \underline x\in X:x\geq\underline x\,\,\forall x\in X$.
Deje $f:X\to X$ ser una función decreciente; esto es, para cualquier $x,y\in X$, $x\geq y$ implica que $f(x)\geq f(y)$.
Deje $\mathscr F\equiv\{x\in X\,|\,x=f(x)\}$ el conjunto de puntos fijos de $f$.
Ahora, Tarski del punto fijo teorema implica que $\mathscr F$ no está vacío. También está demostrado fácilmente que $\mathscr F$ tiene un máximo del elemento.
Mi pregunta es: ¿$\mathscr F$ necesariamente admitir un mínimo elemento así?
Tenga en cuenta que la existencia de infima de no vacía de subconjuntos de a $X$ no ha asumido, a diferencia de la existencia de la suprema.
Las sugerencias, ya sea hacia una prueba o hacia un contraejemplo, sería muy apreciado.
