Complejo CW que deformación se retrae al anillo y banda de Möbius

Question

Estoy tratando de construir un 2-dimensional CW complejo que contiene un anillo, la idea de $S_{1}\times I$ y una banda de Möbius como la deformación se retrae.

La primera parte del problema se le pide que muestre que la asignación de cilindro de cada mapa $f:S^{1}\rightarrow S^{1}$ es un CW complejo así que he pensado en hacer el de la construcción mediante la asignación de los cilindros, quizás el encolado de la asignación de cilindro de un mapa a la asignación de cilindro de otro mapa a lo largo del círculo de la base. Un mapa sería el mapa de identidad en $S^{1}$ desde su asignación cilindro se $S^{1}\times I$, pero no puedo entender lo que el otro mapa debe estar en orden para obtener una banda de Möbius.

Answer 1

Aquí está una célula compleja $X$ contiene subcomplejos $A\cong M$ (la cinta de Moebius) y $B\cong \mathbb{S}^1\times I$ tal que $X$ deformación se retrae tanto $A$ $B$ (nota de que varios vértices y aristas están identificados):

                                  

El subcomplejo $A$ es

                                 

que, cuando los puntos a y los bordes son identificados, se parece a

                           

que la deformación se retrae en $C=(p_2\cup e_5)\cong\mathbb{S}^1$. El subcomplejo $B$ es

                          

que, cuando los puntos a y los bordes son identificados, se parece a

                           

que la deformación se retrae en $C=(p_2\cup e_5)\cong\mathbb{S}^1$.

Tenga en cuenta que $A\cap B=C$. Podemos extender la deformación de retracción de $A$ a $C$ a todos los de $X$ por la identidad en $B$, por lo que el $X$ deformación se retrae en $B$, y del mismo modo con la deformación de retracción de $B$ a $C$, por lo que el $X$ deformación se retrae en $A$.

Answer 2

Tenemos un mapa, $M\to S^1$ que % de contratos $M$que su círculo central. Cuando tomamos el cilindro de la cartografía, un extremo es un círculo. Luego coloque un cilindro a ese círculo.

Answer 3

En general, si $W = X \bigsqcup_{A} Y$ es el pushout de dos CW complejos a lo largo de un común subcomplejo $A$, $X$ la deformación se retrae en $A$, e $Y$ deformación se retrae en $A$, $W$ deformación se retrae a $X$$Y$, donde el retrae de $Y$ $X$ $A$se utilizan para retraer $W$$X$$Y$, respectivamente. (Hatcher, la Proposición 0.19 y Cor 0.20.)

Usar esto para dar a la intuición para la construcción, sin tratar de visualizar con imágenes (aunque las fotos son geniales!!), tome $X$ a ser el anillo y $Y$ a ser la banda de Möbius. Lugar CW estructuras en cada uno de estos por lo que hay un canónica $S^1$ que es una deformación de retractarse de cada uno, y luego identificar el CW dos complejos por esto $S^1$, donde la orientación de los vértices de partido. Este será el rendimiento de la CW complejo que tiene tanto $X$ $Y$ deformación se retrae.

(IMO, Hatcher la parte (a) es sólo una cortina de humo para la solución de este problema.)