¿... $\aleph_1$ es el sucesor inmediato de $\aleph_0$?
Estaba leyendo el artículo de wiki en $\aleph_1$ donde se hace una distinción entre los dos. Si hay no es un cardinal entre $\aleph_1$y $\aleph_0$, la implicación es que debe seguir uno con el otro así que ¿por qué debe uno necesita AC para afirmar que $\aleph_1$ es la más pequeña después $\aleph_0$?
Es consistente sin el axioma de elección que hay infinidad de juegos, que no puede ser bien ordenado, y cada conjunto infinito cuya cardinalidad es menor es necesariamente contables. También podría darse el caso de que hay pequeños cardinalidades, pero ninguno de los que son estrictamente entre el $\aleph_0$ y la multitud innumerable.
De hecho, hay tres definiciones diferentes de sucesor cardenales cuando el axioma de elección falla (a pesar de la existencia de uno [por cada set] implica la elección; hay otro que es comprobable, sin elección; y un tercero que es independiente).
Es consistente, si es así, que hay varios sucesores a $\aleph_0$. Siempre es cierto que $\aleph_1$ es el sucesor de $\aleph_0$, y que es la mínima aleph por encima de ella.
En particular, es coherente que los números reales de forma tal conjunto.
Véase, por ejemplo, la Relación entre Hipótesis continua y Especial Aleph Hipótesis en virtud de ZF
Edit: tengo algo de tiempo libre así que aquí están las diferentes variantes de "sucesor". Esto es tomado de Jech El Axioma de Elección (p. 163), la definición original es debido a Tarski.
Deje $\frak p$ $\frak q$ ser cardenales tal que $\frak p<q$.
- $\frak q$ $1$- sucesor de $\frak p$ si siempre $\frak m$ es tal que $\frak p\leq m\leq q$ $\frak p=m$ o $\frak q=m$.
- $\frak q$ $2$- sucesor de $\frak p$ si siempre $\frak m$ es tal que $\frak p < m$$\frak q\leq m$.
- $\frak q$ $3$- sucesor de $\frak p$ si siempre $\frak m$ es tal que $\frak m < q$$\frak m\leq p$.
Ahora vemos que esto es cierto siempre que $\aleph_1$ $1$ - $3$- sucesor de $\aleph_0$. Sin embargo, no es coherente que así son los números reales ellos mismos.
La afirmación de que $\aleph_1$ $2$- sucesor de $\aleph_0$ es equivalente a toda la multitud innumerable $X$ tiene una inyección de $\omega_1$ a $X$. De hecho, sólo requiere que $\aleph_0$ ha $2$-sucesor es suficiente.
Es coherente que hay varios $1$-sucesores a $\aleph_0$, y que hay un $1$-sucesor que no es $3$-sucesor.
Para los números reales se dice que si su cardinal es un $1$-sucesor de $\aleph_0$ es $3$-sucesor de $\aleph_0$.
Curiosamente, es coherente que hay una clase adecuada de $1$-sucesores a $\aleph_0$.
Generalmente, $\aleph_1$ es el cardenal de la notación de los más pequeños infinito ordinal no en una correspondencia uno a uno con $\omega = \mathbb{N}$. Como tal, no hay nada entre el$\aleph_0$$\aleph_1$:
Supongamos que $X$ fueron un conjunto y $\aleph_0 \leq | X | < \aleph_1$. A continuación, hay un uno-a-uno la función $f : X \to \omega_1$, y podemos utilizar esta función para definir una buena ordenación de $A$: $x \leq y$ iff $f(x) \leq f(y)$. A continuación, el orden de tipo de este pedido debe ser estrictamente menor que $\omega_1$, y por tanto, por definición de $\omega_1$ no debe ser un bijection de $X$ a $\omega$, lo que en realidad lo $\aleph_0 = |X|$. (Tenga en cuenta que el argumento anterior no hizo uso de la Opción en cualquier lugar.) Por lo tanto, $\aleph_1$ es un inmediato sucesor de $\aleph_0$.
Sin embargo, si usted no asumir el Axioma de Elección, creo que no se puede girar a la una en el: es decir, podría ser posible que $\aleph_0$ tiene un inmediato sucesor diferente de $\aleph_1$. (Ciertamente, es posible que hay un cardenal $\mathfrak{p} > \aleph_0$ tal manera que ninguno de $\mathfrak{p} \leq \aleph_1$ ni $\aleph_1 \leq \mathfrak{p}$ espera, pero estoy pasando en nudos tratando de obtener un inmediato sucesor de $\aleph_0$.) Esto es porque si usted no asumir el Axioma de Elección, entonces no todos los conjuntos puede ser bien ordenado, y la cardinalidad de un no-bien-paquete conjunto no necesita ser comparable con un aleph, es decir, la cardinalidad de un ordinal.
Un ejemplo común (aunque no es exactamente el enfoque de esta cuestión) es un infinito Dedekind-conjunto finito: un conjunto $D$ que no está equinumerous para cualquier conjunto finito, pero sin embargo, no hay inyección de $\omega \to D$. De ello se desprende que los cardenales $\aleph_0$ $| D |$ no son comparables, ya que la requerida testigos de funciones no existen. ($\aleph_0 \not\leq |D|$ Es, por definición, de Dedekind-finito; $|D| \not\leq \aleph_0$ sigue, porque si hubo una inyección de $f : D \to \omega$, el rango de $f$ debe ser infinito, y se podría utilizar para construir una inyección de $\omega \to D$.)
Otro ejemplo común es la que $\mathcal{P} ( \mathbb{N} )$ no necesita ser bien disponible. Por Cantor del Teorema sabemos que $\aleph_0 = | \mathbb{N} | < | \mathcal{P} ( \mathbb{N} ) |$, pero en esta situación los cardenales $\aleph_1$ $| \mathcal{P} ( \mathbb{N} ) |$ no necesita ser comparables. Por lo tanto, debe haber al menos dos incomparable sucesores inmediatos de $\aleph_0$.
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