Relativa homología no es trivial

Question

Que $(H*, \partial*)$ sea una teoría de la homología satisfacer el axioma de la dimensión. Que $A \subset S^n$ ser un subconjunto apropiado. Muestran que $H_n(S^n, A)$ no es trivial.

Traté de aplicar la secuencia de tiempo exacta sin éxito, puesto que $A$ podría ser casi cualquier cosa. Supongo que $H_n(A) \to H_n(S^n)$ no es inyectiva, ya que luego conseguiría una secuencia exacta corta, pero no puede dividir.

¿Nada obvio que echaba de menos?

Answer 1

De acuerdo, en realidad es bastante simple. Queremos argumentar que el mapa$H_k(A)\to H_k(S^n)$ es trivial. Esto se debe a que factores a través del espacio contractual$S^n\setminus\{p\}$ para cualquier punto$p\notin A$.