"Integración de los grupos

Question

Espero que no estoy pidiendo una pregunta tonta.

Podemos integrar $\sin(\theta)$ simplemente por la siguiente identidad:

$$\int_0^\frac{\pi}{2} \sin\theta\ \mathsf d\theta = \left[-\cos\theta \vphantom{\frac 1 1} \right]_0^\frac{\pi}{2}=1.$$

Pero, ¿cómo podemos hacer esto por la suma?

Por ejemplo, $$\int_0^{100} x\ \mathsf dx = \left[\frac{x^2}{2}\right]0^{100} = 5000 \approx \sum{x=1}^{100}x= 1+2+\cdots+100 = 5050.$ $

¿Cómo podemos hacer el mismo problema mencionado al principio?

Answer 1

$$\cdots\approx\frac{\pi}{ 200}\sum_{k=1}^{100}\sin\left(\frac{k}{100}\right)$$

En general:

Si $b-a$ pequeño,

$$\inta^b f(x)dx\approx\frac{b-a}{100}\sum{k=1}^{100}f\left(a+k\frac{(b-a)}{100}\right)$$

desde $$\frac{b-a}{n}\sum_{k=1}^nf\left(a+k\frac{b-a}{n}\right)\underset{n\to\infty }{\longrightarrow} \int_a^b f(x)dx.$ $