Usted tiene un semicírculo por encima de la $x$-eje definido por:
$$f(x):=\sqrt{16-x^2}$$
Deje $O=(0,0)$ ser el centro del semicírculo $f$. Para dibujar una línea tangente a $f$, conecte encontrar el punto medio de la $OP$,$M_{OP}=\left(0,\frac h2\right)$. Ahora, dibuje un círculo centrado en$M_{OP}$$r=h/2$. Ahora que hemos definido la función:
$$g(x):=\frac{1}{2} \left(\sqrt{h^2-4 x^2}+h\right)$$
Ahora, los puntos donde $f(x)=g(x)$ son los puntos de tangencia, para los cuales tenemos:
$$\left(-\frac{4 \sqrt{h^2-16}}{h},\frac{16}{h}\right),\left(\frac{4 \sqrt{h^2-16}}{h},\frac{16}{h}\right)$$
Ahora, escribe las funciones para las líneas tangentes a $f$:
$$h_1(x):=\frac{1}{4} \sqrt{h^2-16} x+h\\
h_2(x):=-\frac{1}{4} \sqrt{h^2-16} x+h$$
Ahora $h_1$ $h_2$ cruzan la $x$-eje (es decir, sus ceros) en:
$$h_1:\left\{x\a\frac{4 h}{\sqrt{h^2-16}}\right\}\\
h_2:\left\{x\a \frac{4 h}{\sqrt{h^2-16}}\right\}$$
La solución para que la distancia entre estos dos puntos (es decir, la longitud de la base del triángulo), obtenemos:
$$AB=\frac{8 h}{\sqrt{h^2-16}}$$
La altura de $\triangle PAB$$h$, por lo tanto el área de $\triangle PAB$ es:
$$A_{\triangle PAB}=\frac12\cdot AB\cdot h=\frac12 \cdot \frac{8 h}{\sqrt{h^2-16}} \cdot h = \frac{4 h^2}{\sqrt{h^2-16}}$$
Para minimizar $A_{\triangle PAB}$, simplemente tome la derivada y la puso a $0$:
$$\left(\frac{4 h^2}{\sqrt{h^2-16}}\right)'=0\\
\frac{4 h \left(h^2-32\right)}{\left(h^2-16\right)^{3/2}}=0\\
4 h ( h^2-32 )=0$$
Por lo tanto, usted tiene las siguientes soluciones:
$$\left\{\{h\to 0\},\left\{h\to -4 \sqrt{2}\right\},\left\{h\to 4 \sqrt{2}\right\}\right\}$$
Sabemos que $\angle A=\angle B$ porque $PAB$ es isósceles. Entonces el ángulo $A$ $\arctan m_1$ donde $m_1$ es la pendiente de la recta que pasa por a$P$$A$. Por lo tanto:
$$\angle A=\arctan \left(\frac{\sqrt{h^2-16}}{4}\right)$$
Ya tenemos $h=\pm4\sqrt2$ como una solución, entonces:
$$\angle A=\arctan-1=\frac\pi4 \iff \bbox[10px, border:2px black solid]{\therefore P=\frac\pi2}$$
