Pregunta sobre convergencia y la integración.

Question

Estoy estudiando el papel de "simetría y operadores no uniformemente elípticos - jean dolbeault, patricio felmer y regis monneau" y en la demostración de la página de lema 8: 5, tenemos el problema:

Supongamos que $\Omega\subset\mathbb{R^n}$ es un dominio de Lipschitz acotado, $0\in\partial\Omega$. Considerar $u\in C^1(\overline\Omega)$ tal que $u(0)=0$, y que $\phi$ una función de prueba radial distinto de cero no negativo, entonces $$f(0)A(0)\int{\mathbb{R^n}}\phi(x)dx=\lim{\varepsilon\rightarrow0}\int{\varepsilon^{-1}\Omega}f(u(\varepsilon x))\phi(x)dx,$ $ donde $ de $f\in C(\mathbb{R})$ y $$A(0)=\frac{|S^{n-1}|}{n},$$ if $0\in\Omega$ y $$A(0)=\lim{\varepsilon\rightarrow0}\frac{|\Omega\cap B(0.\varepsilon)|}{\varepsilon^n},$ si $0\not\in\Omega$. No sé cómo obtener la igualdad anterior.

Answer 1

Trate de sustituir a $y=\epsilon x$. A continuación, el derecho integral se convierte en una integral sobre $\Omega$, es decir,$\mathop{\int}\limits_{\Omega} f(u(y)) \frac{1}{\epsilon^n}\phi(\frac{1}{\epsilon}y)dy$. Como $\epsilon$ se acerca a 0, la modificación de $\phi$ función, se convierte en una función delta, y es cercana a cero en todas partes, excepto cerca del origen. De modo que la integral enfoques $\mathop{\int}\limits_{\Omega} f(u(0)) \frac{1}{\epsilon^n}\phi(\frac{1}{\epsilon}y)dy$. Así podemos tirar de $f$. Ahora, la parte restante sería la integral de una función de prueba sobre todos los de $\mathbb{R}^n$, excepto estamos integrando más de $\Omega$. Ahora, la función de prueba de $\phi(\frac{1}{\epsilon}y)$ es distinto de cero sólo a través de $B(0,\epsilon)$, de modo que puede sustituir a $\Omega$ $\Omega\cap B(0,\epsilon)$ en la integral.

Como $\epsilon$ disminuye, el conjunto $\Omega\cap B(0,\epsilon)$ se convierte en más y más como un sector esférico (I. e. el cono sobre un subconjunto abierto de la esfera). Dado que la función de prueba se radialmente simétrica, la integral es igual a la integral sobre la $\mathbb{R}^n$ veces la proporción de la pelota a $\Omega\cap B(0,\epsilon)$. Que es donde $A(0)$ proviene de que en el segundo caso. No sé por qué parece que la forma en que lo hace en el primer caso.