Alguien sabe un interesante tema introductorio que implican espacios del vector sobre los racionales

Question

Muchos libros de introducción en espacios vectoriales mencionar que los escalares no necesitan ser reales, e incluso pueden tener secciones a discutir complejo de espacios vectoriales o espacios vectoriales sobre los enteros mod 2. Nunca he visto ningún libro mencionar que todos los de la teoría pasa a través de así si se restringe la escalares a ser sólo números racionales. Quizás esto es porque hay una escasez de problemas interesantes acerca de tales espacios vectoriales se puede acceder en este nivel que no podía simplemente ser discutido en el contexto de la real escalares.

Me pregunto si hay un interesante nivel introductorio problema o el tema sobre espacios vectoriales que sería más natural de cabo permitiendo número racional escalares. ¿Alguien sabe de tal, tal vez uno con un número teórico de aspecto?

(Por introductorio: la veo un primer curso de álgebra lineal, incluyendo la no-matemática de las especializaciones. Iban a ver a los espacios vectoriales (y que nivel de abstracción) por primera vez. Tal vez se estaría viendo la multiplicación de la matriz por primera vez. Por lo general, en mi experiencia, este tipo de cursos, principalmente, el uso de los números reales como escalares.)

Answer 1

Un ejemplo estándar de la utilización de espacios de $\mathbb{Q}$-vector es construir funciones aditivo discontinuo $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$. El enfoque es elegir una base $\mathbb{Q}$ $\mathbb{R}$. Para cada $x \in \mathbb{R}$, definir $f(x)$ la suma de los coeficientes en esta base. Es lineal sino discontinuo (mapas en $\mathbb{Q}$).

Answer 2

Continuando Akhil la respuesta, vamos a probar un teorema de Dehn: si un rectángulo es de baldosas por las plazas, la de la relación de las longitudes de sus lados es racional.

Supongamos que al contrario que los lados del rectángulo $x,y$ son no racional de los dependientes. A continuación, podemos encontrar algunos lineal homomorphism $f\colon \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{Q}$ tal que $f(x) = 1$$f(y) = -1$.

Definimos la $f$área $A(R)$ de un rectángulo $R$, con el borde longitudes $h,v$$f(h)f(v)$. Si un rectángulo $R$ es de baldosas por rectángulos $R_i$ formando una cuadrícula, luego de la linealidad sigue inmediatamente que $$A(R) = \sum_i A(R_i).$$

Denotar la gran rectángulo $R$, y las plazas,$S_i$. Tome su suelo de baldosas y extender todas las líneas para formar una cuadrícula en el interior del rectángulo. Denotar la cuadrícula rectángulos $G_j$. Entonces $$A(R) = \sum_j A(G_j) = \sum_i A(S_i).$$ Since a square has both sides equal, $Un(S_i) \geq 0$. On the other hand, by construction $a(R) < 0$. Esta contradicción muestra que los dos lados de la gran rectángulo son, de hecho, racionalmente dependiente.

En lugar de tomar un mapeo lineal de $\mathbb{R}$ $\mathbb{Q}$podríamos tomar un mapeo lineal de un pequeño, finito dimensionales de dominio considerando sólo las longitudes en la cuadrícula $G_j$ -, entonces todo se vuelve del principiante de álgebra lineal.

Answer 3

Un grupo abelian es torsionfree y divisible fib tiene el (único) de la estructura de un espacio vectorial sobre $\mathbb{Q}$.

El uso de esta observación, la clasificación de los espacios vectoriales sobre un campo en términos de su dimensión da lugar a una clasificación de torsionfree divisible abelian grupos. En particular, ya que si $V$ es un espacio vectorial sobre un campo $K$ $\operatorname{dim} V> \# K$ tenemos $\operatorname{dim} V = \# V$, nos encontramos con que cualquiera de los dos innumerables torsionfree divisible abelian grupos de la misma cardinalidad son isomorfos. En particular, $\mathbb{R}$ $\mathbb{C}$ son isomorfos como abelian grupos.

[Añadido: En el modelo de la teoría de términos, hemos establecido que la teoría elemental de torsionfree divisible abelian grupos es uncountably categórica. Puesto que no tiene ninguna finito de modelos, por Vaught a Probar esta teoría es completa. Ver estas notas, especialmente Teorema 6. (Este es uno de los más baratos ejemplos de una teoría completa que conozco.) Ahora me siento honorbound para aconsejarle no mencionar esto en una clase de álgebra lineal!]

Si uno quisiera o pudiera introducir ningún de este en una clase de álgebra lineal es muy dudosa (a nivel de posgrado de álgebra lineal de la clase, tal vez). Sin embargo, no puedo dejar de recordar que Paul Halmos, era muy aficionada a la conclusión de que en el último párrafo y, al parecer, le gustaba incluir como un problema en sus exámenes: "$\mathbb{R}$ dará la la estructura de un espacio vectorial sobre $\mathbb{C}$?" Él describe en su autobiografía.

Aunque estoy un número teórico, no hay ningún número de la teoría de las aplicaciones están surgiendo a la mente. Una pequeña voz en mi cabeza diciendo: "90 de Hilbert", pero que probablemente no es una dirección que usted desea ir en cualquiera de los dos.

Usted puede saber ya, pero hay un montón de fresco problemas de combinatoria que -- en gran manera no evidente! -- puede ser resuelto usando álgebra lineal sobre campos finitos, especialmente a $\mathbb{F}_2$. Recomiendo L. Babai con el manuscrito de "álgebra Lineal métodos en la combinatoria".

Answer 4

La pregunta es de tipo general, pero aquí es un intento de respuesta:

1. En la introducción general de los libros en espacios vectoriales, por lo general se intenta desarrollar tanto de la teoría como sea posible sin especificar el campo de escalares. Este tiene una buena razón: la principal ventaja de hablar sobre finito dimensionales espacios vectoriales en lugar de tuplas de números es que uno se deshace de equipaje, tal como es, y deja sólo las partes esenciales de una teoría. El mismo razonamiento se sugiere no especificar el campo. De esta manera, la estructura se hace visible y no es obstruida por los detalles innecesarios. No es necesario especificar el campo, si desea definir vectores lineales, mapas, bases, las matrices de cambio de base, los factores determinantes etc. En el orden habitual de la enseñanza de estos temas, en primer lugar, cuando se hace necesario especificar el campo es cuando uno empieza a hablar de interior de los productos, debido a que para definir la no-degeneración, se necesita un concepto de positividad. Para resumir punto uno: la razón por la que los libros rara vez dicen "por cierto, esto funciona también para los racionales" es que la mayoría de los libros del estado y demostrar tanto como sea posible, a partir de "Vamos a $V$ ser un espacio vectorial sobre un campo $F$..." Ellos no sienten que tienen que recordar al lector que $\mathbb{Q}$ es uno de esos campos. De hecho, no son taaaan muchos otros por ahí.

2. Sin embargo, hay áreas vecinas de álgebra lineal, donde el campo de escalares es importante y en muchos de ellos, $\mathbb{Q}$ es uno de los campos que reciben una atención especial. Un ejemplo es: la clásica teoría de la representación es por lo general desarrollado a lo largo de $\mathbb{C}$. Pero cuando toda la teoría necesaria está en su lugar, uno comienza a preguntarse acerca de los campos de definición. Preguntas como "que las representaciones son definidos sobre los $\mathbb{Q}$" y "¿cuántos irreductible racional de las representaciones que hace de un número finito de grupo" son muy natural y no trivial.

3. Puesto que sus pensamientos ya están yendo en esa dirección, también puedo mencionar, que algunas teorías como la teoría de los números son aún más interesado en el libre $\mathbb{Z}$-módulos que en espacios vectoriales. Esas son aún más especiales (y difícil) que racional espacios vectoriales. Tales bestias surgen de manera natural en la teoría algebraica de números. Por ejemplo Galois grupos finitos extensiones de campos de número de forma natural de actuar en muchos gratuitos $\mathbb{Z}$-módulos, tales como anillos de enteros, las unidades de la misma (módulo de torsión) y muchos más. La determinación de la estructura de estas acciones es un área de investigación muy activa, pero usted tendrá dificultad para la introducción de que en un primer curso de licenciatura. A veces, la determinación de la integral de la estructura es tan difícil que uno se ve obligado a tensor con $\mathbb{Q}$ y a su vez estos módulos en racional de los espacios vectoriales, lo que nos lleva de vuelta a donde comenzó.

Así que, resumiendo todo esto: la base de la teoría de álgebra lineal intenta ser algo ajeno a la propia disciplina. La más avanzada teoría está muy interesado en el campo de la definición. $\mathbb{C}$ tiende a ser el más fácil de entender, entonces viene la $\mathbb{R}$, los racionales son mucho más difícil de lo que estos dos. Así que supongo que la razón por la que no ve $\mathbb{Q}$ a menudo en introductorio de pregrado de los libros es que, tan pronto como el campo que realmente importa, $\mathbb{Q}$ es difícil trabajar con ellos.

Answer 5

Se me acaba de ocurrir uno que está casi al mismo nivel que yo había imaginado.

Vamos a V ser una de dos dimensiones P-subespacio de las Q-espacio vectorial R.

(a) demuestre que si V es cerrado bajo la multiplicación de números reales, y si el cero vectores en V son cerrados bajo la división de números reales, entonces V tiene una base de la forma {1, \alpha} donde alfa es una raíz de una ecuación cuadrática polinomio cuyos coeficientes son números enteros.

(b) Muestran que bajo la misma hipótesis como en la parte (a), V tiene una base de la forma {1, \sqrt{N}}, donde N es un entero positivo.

(c) demuestre que si V tiene una base de la forma {1,\sqrt{N}}, donde N es un entero positivo, entonces V es cerrado bajo la multiplicación de los números reales y el distinto de cero vectores de V son cerrados bajo la división de números reales.