El límite de una diferencia entre una raíz cúbica y una raíz cuadrada

Question

He estado tratando de evaluar el límite de $$\lim_{x \to \infty}[(x^3+x^2+1)^{1/3}-(x^2+x)^{1/2}]$$ He intentado utilizar la propiedad $$x^6-y^6 =(x-y)(x^5+x^4y+\cdots+xy^4+y^5)$$

donde $x = (x^3+x^2+1)^{1/3}$ y $y=(x^2+x)^{1/2}$ . Pero no consigo "limpiar" el denominador para estar en condiciones de tomar el límite. Muchas gracias de antemano.

Answer 1

Sustituir $x$ por $\frac{1}{t}$ donde pensamos en $t$ como pequeño positivo. Nuestra expresión se convierte en $$\lim_{t\to 0^+}\frac{(1+t+t^3)^{1/3}-(1+t)^{1/2}}{t}.$$ Para encontrar el límite como $t\to 0^+$ utilizar la regla de L'Hospital. Si no queremos utilizar la regla de L'Hospital, podemos reescribirla como $$\lim_{t\to 0^+} \frac{\left((1+t+t^3)^{1/3}-1\right)-\left((1+t)^{1/2}-1\right)}{t},$$ y reconocer la diferencia de dos derivadas.

Answer 2

Usando su propiedad, usted tiene \begin{align} (x^3+x^2+1)^{1/3}-(x^2+x)^{1/2}&=\frac{(x^3+x^2+1)^2-(x^2+x)^3}{(x^3+x^2+1)^{5/3}+\cdots+(x^2+x)^{5/2}}\\ \ \\ &=\frac{-x^5-2x^4+x^3+2x^2+1}{(x^3+x^2+1)^{5/3}+\cdots+(x^2+x)^{5/2}}\\ \ \\ &=\frac{-1-2/x+1/x^2+2/x^3+1/x^5}{(1+1/x+1/x^3)^{5/3}+\cdots+(1+1/x)^{5/2}}\\ \ \\ &\to-\frac16 \end{align} (donde en la última igualdad se divide numerador y denominador por $x^5$ y luego utilizar el hecho de que hay seis términos en el denominador).

También aquí está la forma de hacer este límite que me resulta natural. De la serie binomial, $(1+a)^b\simeq 1+\frac ab$ para los pequeños $a$ . Entonces, para las pequeñas $x$ , \begin{align} (x^3+x^2+1)^{1/3}-(x^2+x)^{1/2}&=x\,\left[ (1+1/x+1/x^3)^{1/3}-(1+1/x)^{1/2} \right]\\ \ \\ &\simeq x\,\left[1+\frac1{3x}+\frac1{3x^3}-1-\frac1{2x} \right]\ \\ \ \\ &=x\,\left[-\frac{1}{6x}+\frac1{3x^3} \right]=-\frac16+\frac1{3x^2}\\ \ \\ &\to-\frac16. \end{align}