Voy a probar el caso general en que $\mu$ es una medida positiva en un espacio de $X$$\mu(X) = 1$. Suponiendo que $\|f\|_q < \infty$ durante al menos un $0 < q < 1$, tenemos
$$
\lim_{p \to 0} \|f\|_{p} = \exp\left(\int_X \log|f| \,d\mu\right).
$$
Su caso en particular sigue estableciendo $X = \{1, \ldots, n\}$$\mu(i) = 1/n$.
Por definición
$$
\|f\|_p = \left\{\int_X |f|^p \,d\mu\right\}^{1/p}.
$$
Lema 1: Si $0 < r < s < 1$,$\|f\|_r \le \|f\|_s$.
Prueba: $\varphi(x) = x^{s/r}$ es una función convexa. Aplicar la desigualdad de Jensen a $\int_X |f|^r \,d\mu$ para obtener
$$
\left\{\int_X |f|^r \,d\mu\right\}^{s/r} \le \int_X |f|^s \,d\mu.
$$
Por lo tanto $\|f\|_r \le \|f\|_s$.
Lema 2: Si $0 < p < 1$,$\int_X \log|f| \,d\mu \le \log \|f\|_p$.
Prueba:
$\log$ es una función cóncava. Aplicar la desigualdad de Jensen a $\int_X |f|^p \,d\mu$ para obtener el deseado desigualdad.
A partir de los lemas 1 y 2, se deduce que el $\log\|f\|_{1/n}$ es decreciente y acotada desde abajo. Por lo tanto, converge como $n \to \infty$.
Para encontrar el límite, aplicar la desigualdad de $\log a \le n(a^{1/n} - 1)$ $a = \left\{\int_X |f|^{1/n}\,d\mu\right\}^{n} $ para obtener
$$
\log \|f\|_{1/n} \le \int_X \frac{|f|^{1/n} - 1}{1/n} \,d\mu. \etiqueta{1}
$$
Utilice la regla de L'Hôpital para obtener
$$
\lim_{x \to 0} \frac{a^x - 1}{x} = \log.
$$
Tomar el límite de (1) como $n \to \infty$. Desde $\dfrac{|f|^{1/n} - 1}{1/n}$ está dominada por la función integrable $\dfrac{|f|^{q} - 1}{q}$ de las grandes suficientemente $n$ y el valor de $q$ señaló que en la hipótesis, aplicar el teorema de convergencia dominada para obtener
$$
\lim_{n \to \infty} \log \|f\|_{1/n} \le \int_X \log|f| \,d\mu.
$$
Aplicar el teorema del encaje con el lema 2 para obtener
$$
\lim_{n \to \infty} \log \|f\|_{1/n} = \int_X \log|f| \,d\mu.
$$
Desde $\log$ es continua, llegamos a la conclusión de
$$
\lim_{n \to \infty} \|f\|_{1/n} = \exp\left(\int_X \log|f| \,d\mu\right).
$$
El argumento anterior se aplica a cualquier secuencia $s_n$ que converge a $0$, no sólo a $1/n$. El resultado general se dijo al principio, sigue ahora. Este es un argumento estándar en la teoría de la medida. Normalmente es usado para aplicar el teorema de convergencia dominada de los límites generales, no sólo de los límites de contables de las secuencias.
Para responder a sus preguntas, la "escala de la norma" se sigue de que el caso general, como he explicado al principio de mi respuesta. Nunca he visto a la media geométrica de la llama $L^0$. Como para otras lecturas, echa un vistazo Rudin Real y el Análisis Complejo o Folland del Análisis Real. El de arriba es un ejercicio de uno de ellos (creo que el primero).
