Sobre las medias de Birkhoff

Question

Tengo el siguiente problema

Dejemos que $(X,\mathcal{A},\mu, T)$ sea un sistema dinámico que preserva la medida, y sea $f\in L^1(\mu)$ . Dejemos que $\tilde{f}(x)$ sea el límite de las medias de Birkhoff de $f$ (definido casi en todas partes). Demuestre que $$\tilde{f}(x)=\lim_{\lambda\to 1^-}(1-\lambda)\sum_{j=0}^{\infty}\lambda^jf(T^j(x))\quad for\thinspace a.e.\thinspace x.$$

Sinceramente, no sé cómo proceder.

Si alguien puede dar una pista se lo agradecerá.

Gracias.

Answer 1

Permítanme añadir a la sugerencia de Dap y a los comentarios de Michael que el sistema dinámico es una distracción en este problema. La afirmación más sencilla y general es que la sumabilidad de Cesàro implica la sumabilidad de Abel (con el mismo valor).

A saber, que $a_0,a_1,\ldots$ sea una secuencia de números reales y suponga que las medias de Cesàro $S_n:=\frac{1}{n}(a_0+a_1+\cdots+a_{n-1})$ convergen a un número $\overline{a}$ como $n\to\infty$ . La afirmación es que la serie de potencias $(1-\lambda)\sum_{j=0}^\infty\lambda^j a_j$ converge a $\overline{a}$ como $\lambda\uparrow 1$ .

Esto se puede demostrar utilizando la pista de Dap. Ahora, a partir del teorema ergódico, la secuencia $f(x), f(T(x)), f(T^2(x)), \ldots$ es casi siempre Cesàro sumable a una función $\tilde{f}(x)$ . Por lo tanto, también es sumable por Abel hasta el mismo valor $\tilde{f}(x)$ .

Answer 2

Aquí hay algunos detalles sobre la importancia del medida de preservación suposición que Dap agregó como una edición para la pregunta.

El caso especial de la preservación de la medida $T$

En general, $f \in L^1(\mu)$ no implica $f(T) \in L^1(\mu)$ . Sin embargo es es cierto en el caso especial de que $T$ es preservación de la medida (para que $\mu(A) = \mu(T^{-1}(A))$ para todos los conjuntos medibles $A$ ). Si $T$ es preservador de la medida y si $h$ es cualquier función medible e integrable, se puede demostrar que $$\int h(x)d\mu = \int h(T^j(x)) d\mu \quad, \forall j \in \{0, 1, 2, \ldots\}$$

Intuición sobre las medias ponderadas:

Si $f \in L^1(\mu)$ y $T$ es preservador de la medida, entonces hay un $a \in \mathbb{R}$ tal que: $$\int f(T^j(x)) d\mu = a \quad, \forall j \in \{0, 1, 2, \ldots\}$$ De ello se deduce que si $\{w_j\}_{j=0}^{\infty}$ son cualesquiera pesos no negativos tales que $\sum_{j=0}^{\infty} w_j = 1$ entonces $$\int \left[\sum_{j=0}^{\infty} w_j f(T^j(x)) \right]d\mu = \sum_{j=0}^{\infty} w_j a = a$$

donde el paso de la integral por la suma infinita se puede justificar formalmente por el teorema de convergencia dominada por Lebesgue utilizando la función delimitadora integrable $\sum_{j=0}^{\infty} w_j |f(T^j(x))|$ .

Esto es válido para cualquier tipo de media ponderada, incluida una suma como $\frac{1}{n}\sum_{j=0}^{n-1}f(T^j(x))$ o una media ponderada exponencialmente como $(1-\lambda)\sum_{j=0}^{\infty} \lambda^j f(T^j(x))$ . Además, como la integral es finita, se deduce que $\sum_{j=0}^{\infty} w_j f(T^j(x))$ está bien definida y es finita para casi todo $x$ (excepto posiblemente un conjunto de medida cero).

Más sobre las pistas de Dap

Como menciona Dap, la suposición de preservación de la medida asegura un teorema de tipo ergódico que, para casi todo $x$ , garantiza la secuencia $\{m_n\}$ converge a algún número real $m$ donde ambos $m_n$ y $m$ puede depender de $x$ y donde $m_n$ se define para todos los $n \in \{1, 2, 3, ...\}$ por $$m_n = \frac{1}{n}\sum_{j=0}^{n-1} f(T^j(x))$$ La insinuación de la escritura de Dap $(1-\lambda) \sum_{j=0}^{\infty} \lambda^j f(T^j(x))$ en términos de $m_n$ es una buena idea y debería seguirla. Sin embargo, el argumento resultante sigue sin ser trivial. Será útil recordar que, dado que los valores $m_n$ convergen, esos valores también están acotados. Además, puede ser útil reescribir eventualmente la suma en un orden diferente y/o dividirla, si es necesario, en términos que tienen un comportamiento y términos que tienen otro.