Identificación de ultraproduct del espacio dual como subconjunto de la doble de ultraproduct.

Question

Deje $(X_i)_{i\in I}$ ser una familia de espacios de Banach y de considerar su ultraproduct $(X_i)_{\mathcal{U}}$ con respecto a un no-trivial de ultrafilter $\mathcal{U}$$I$. Hay una canónica de la incrustación $T:(X^*_i)_\mathcal{U}\longmapsto ((X_i)_\mathcal{U})^*$ da como $$ \langle Tx^*,x\rangle=\lim_{\mathcal{U}}\langle x^*_i,x_i\rangle$$

para $x^*=(x_i^*)_\mathcal{U}\in (X^*_i)_\mathcal{U}$ $x=(x_i)_\mathcal{U}\in(X_i)_\mathcal{U}$

Mi pregunta es: Cómo probar este mapa $T$ es una isometría?, es decir, $||Tx^*||=||x^*||$

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He intentado lo siguiente: Deje $x^*=(x_i^*)_\mathcal{U}\in (X^*_i)_\mathcal{U}$. Por Hahn-Banach podemos encontrar $y=(y_i)_\mathcal{U}\in (X)_\mathcal{U}\subseteq ((X)_\mathcal{U})^{**}$ tal que las normas $Tx^*$, es decir, $$||Tx^*||=\langle Tx^*, y\rangle=\lim_\mathcal{U}\langle x_i^*,y_i\rangle$$ donde la última igualdad es por la definición de $T$. Pero estoy atascado en este punto. Cualquier ayuda sería muy apreciada.

Answer 1

No necesitamos de Hahn-Banach: la definición de la norma de un funcional lineal es suficiente. En primer lugar, recordemos que el $\|x^*\| = \lim_{\mathcal U} \|x_i^*\|$. Para cualquier $x\in (X_i)_{\mathcal U}$ hemos $$ |\langle Tx^*,x\rangle| = \lim_{\mathcal{U}}|\langle x^*_i,x_i\rangle| \le \lim_{\mathcal{U}} \|x^*_i\| \|x_i\| = \|x^*\|\|x\| $$ que muestra $\|Tx^*\|\le \|x^*\|$.

Para revertir la desigualdad, recoger algunos de los números positivos $\epsilon_i$ tal que $\lim_{\mathcal U} \epsilon_i = 0$. Para cada una de las $i$ hay $x_i\in X_i$ tal que $\|x_i\|=1$$\langle x^*_i,x_i\rangle\ge \|x_i^*\| - \epsilon_n$. Por lo tanto, para $x=(x_i)_{\mathcal U}$ hemos $$ |\langle Tx^*,x\rangle| = \lim_{\mathcal{U}}|\langle x^*_i,x_i\rangle| \ge \lim_{\mathcal{U}} \|x^*_i\|-\epsilon_n = \|x^*\| $$ demostrando $\|Tx^*\|\ge\|x^*\|$.