Cómo probar$n!\leq(\frac{n+1}{2})^n$

Question

Demuestre que para$n\in\mathbb{N}$$$n!\leq(\frac{n+1}{2})^n.$% $ He resuelto el caso base para$n=1$$$1\leq(\frac{1+1}{2})^1=1$% $ El segundo paso que hice fue que asumí que$n!\leq(\frac{n+1}{2})^n$ Y luego tengo $(\frac{n+2}{2})^{n+1}$. ¿Qué debo hacer ahora?

Answer 1

Aplicando la desigualdad AM-GM, obtienes$$\sqrt[n]n!=\sqrt[n]{1\cdot2\cdot\ldots\cdot(n-1)\cdot n}\overset{\text{AM-GM}}\le\frac{1+2+\ldots+(n-1)+n}{n}=\frac{n(n+1)}{2n}=\frac{n+1}{2}$$ Now raise both sides to the $ n $ -power para concluir.

Answer 2

Simplemente escriba que $$ (n!) ^ 2 = \ prod_ {k = 1} ^ nk (n +1-k) \ le \ prod_ {k = 1} ^ n \ left [\ frac 12 (k + (n +1-k)) \ right] ^ 2 = \ left (\ frac {n +1} 2 \ right) ^ {2n} $$

Answer 3

La prueba de inducción se puede hacer para trabajar; usar el hecho de que

$$\begin{align} \frac{\left(\frac{n+2}2\right)^{n+1}}{\left(\frac{n+1}2\right)^n}&=\frac{n+2}2\left(\frac{n+2}{n+1}\right)^n\ &=\frac{n+2}2\left(1+\frac1{n+1}\right)^n\\ &>\frac{n+2}2\left(1+\frac{n}{n+1}\right)\\ &=\frac{(n+2)(2n+1)}{2n+2}\\ &=\frac{2n^2+5n+2}{2n+2}\\ &=n+\frac{3n+2}{2n+2}\\ &>n+1\;. \end{align} $$

La primera desigualdad se deduce del teorema del binomio, por ejemplo.

Answer 4

Partimos de $$(n+1)!$ $ del lado izquierdo para n +1-ésimo paso. %#% $ #% del n-ésimo paso. Reescritura: %#% $ de #% observando que $$(n+1)!=(n+1) n!\leq (n+1) \frac{(n+1)^n}{2^n}$ $ beause $$(n+1) \frac{(n+1)^n}{2^n}=2(n+1) \frac{(n+1)^n}{2^{n+1}}$ $ ($$2(n+1)^{n+1}\leq (n+2)^{n+1}$ es una secuencia de creciente) tenemos que $$\left(1+\frac{1}{n+1}\right)^{n+1}\geq 2$ $