¿Existe un grupo con abelianización trivial que tenga como subgrupo un grupo isomorfo a $\mathbb{Z} \times \mathbb{Z}$ ?
Respuestas
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Prueba el grupo de todas las permutaciones de $\mathbb Z\times \mathbb Z$ (en conjunto).
Es su propio subgrupo conmutador ( es decir tiene una abelianización trivial): Cada permutación que deja infinitos números solos es un conmutador, y deberías poder construir cualquier cosa que quieras como producto de dos de ellos.
Además, contiene $\mathbb Z\times \mathbb Z$ como subgrupo, por su acción sobre sí mismo.
(Este argumento se generaliza fácilmente para demostrar que cada grupo es isomorfo a un subgrupo de algo con abelianización trivial).
Jeff
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Sí. Si $k$ es un campo infinito y $n \geq 2$ entonces $\mathrm{SL}_n(k)$ es conocido para ser un infinito perfecto grupo. Ahora $\mathbb{Z} \times \mathbb{Z}$ se incrusta en $\mathrm{GL}_2(\mathbb{C})$ mediante matrices diagonales, porque $\mathbb{Z}$ se incrusta en $\mathbb{C}^*$ (rotación con ángulo irracional). Pero $\mathrm{GL}_2(\mathbb{C})$ se incrusta en $\mathrm{SL}_3(\mathbb{C})$ a través de $A \mapsto \begin{pmatrix} A & 0 \\ 0 & \det(A)^{-1} \end{pmatrix}$ .
PD: Como se menciona en los comentarios, una incrustación mucho más fácil es la siguiente: $\mathbb{Z} \times \mathbb{Z}$ (de hecho cada $\mathbb{Z}^n$ ) se incrusta en $\mathbb{Q}^*$ a través de $(a,b) \mapsto 2^a 3^b$ . Y $\mathbb{Q}^*$ se incrusta en $\mathrm{SL}_2(\mathbb{Q})$ a través de $x \mapsto \begin{pmatrix} x & 0 \\ 0 & x^{-1} \end{pmatrix}$ .
