No encuentro soluciones para $\tan{2x} = \tan{x}$

Question

Resolver $\tan{2x}=\tan{x}$

Reduciendo el lado izquierdo: $$\frac{\sin{2x}}{\cos{2x}} = \frac{2\sin{x}\cos{x}}{2\cos^{2}(x)-1}.$$

Reduciendo el lado derecho: $$\tan{x} = \frac{\sin{x}}{\cos{x}}.$$

por lo tanto: $$\frac{2\sin x\cos x}{2\cos^2x-1} = \frac{\sin x}{\cos x}$$

$$\frac{2\cos x}{2\cos^2x-1} = \frac{1}{\cos x}$$

$$2\cos{^2}(x) = 2\cos{^2}(x) - 1$$

$$0 = -1 ????$$

Answer 1

Una pista: $$\tan(2x) = \tan(x) \quad \Rightarrow \\ \frac{\sin(2x)}{\cos(2x)} = \frac{\sin(x)}{\cos(x)} \quad \Rightarrow \\ \frac{2\sin(x)\cos(x)}{2\cos^2(x) -1} = \frac{\sin(x)}{\cos(x)} \quad \Rightarrow \\ \frac{2\cos^2(x)}{2\cos^2(x) - 1} = 1 \quad \text{ or }\quad \sin(x) = 0. $$ Parece que tienes la "otra solución $\sin(x) = 0$ . Por supuesto que no se puede tener $0 = -1$ . Todo lo que significa es que $2\cos^2(x)$ nunca es igual a $2\cos^2(x) = 1$ . Así que esa ecuación específica no tiene solución. Pero de nuevo, existe la posibilidad de que $\sin(x)= 0$ (que equivale a $\tan(x) = 0$ .

Answer 2

Sabemos que $\tan A=\tan B\implies A=n\pi+B$ donde $n$ es un número entero cualquiera (Prueba abajo )

Así que, $\tan2x=\tan x\implies 2x=n\pi+x\implies x=n\pi$ donde $n$ es un número entero cualquiera

[ Prueba:

$\tan A=\tan B\implies \sin A\cos B=\cos A\sin B$

$\implies \sin(A-B)=0\implies A-B=n\pi$ donde $n$ es un número entero cualquiera

]