¿Cuáles son las categorías derecha de finito-dimensional espacios de Banach?

Question

Esto está inspirado en parte por esta pregunta, especialmente Tom Leinster la respuesta.

Permítanme comenzar con algunos antecedentes. Pido disculpas de que esto va a ser bastante largo, ya que yo estoy esperando la entrada de personas que probablemente no se mucho sobre el siguiente.

Clásicamente, hay dos categorías obvias cuyos objetos son los espacios de Banach (digamos que todos los espacios de Banach son reales por simplicidad): en la primera, morfismos son acotados lineal mapas y isomorphisms son exactamente lo que se suelen llamar isomorphisms de los espacios de Banach; en el segundo, morfismos son lineales contracciones (bounded lineal de mapas con la norma en la mayoría de los 1) y isomorphisms son isometrías lineales. Estas categorías distinguir entre el "isomorfo" y "isométrico" teorías de espacios de Banach.

Ahora si estoy interesado en lo finito-dimensional espacios, entonces el "isomorfo" categoría no es lo suficientemente rígido, porque cualquiera de los dos n-dimensional de los espacios de Banach son isomorfos. Pero el isométrico de la categoría es demasiado rígido para la mayoría de propósitos. Así que tenemos más cuantitativa acerca de nuestros isomorphisms. Una forma de hacerlo es con la de Banach-Mazur distancia. Si X e y son ambos n-dimensional de los espacios de Banach, $$d(X,Y) = \inf_T (\lVert T \rVert \lVert T^{-1} \rVert),$$ donde el infimum está por encima de todas lineal isomorphisms $T:X\to Y$. A continuación, $\log d$ es una métrica en la clase de isometría clases de n-dimensiones de los espacios de Banach.

Teoremas sobre un espacio de dimensión arbitraria que incluyen algunas constantes independientes de la dimensión se caracteriza como "isomorfo resultados". Un ejemplo es Kashin del teorema: existe una constante c>0 tal que para cada n, $\ell_1^n$ tiene un subespacio de X con $\dim X = m= \lfloor n/2 \rfloor$ tal que $d(X,\ell_2^m) < c$. (Aquí se $\ell_p^n$ denota R^n con $\ell_p$ norma $\lVert x \rVert_p = (\sum |x_i|^p)^{1/p}$.) Por lo tanto $\ell_1^n$ contiene un n/2-dimensional subespacio isomorfo al espacio de Hilbert en una dimensión independiente de la forma.

Por otro lado, hay "casi isométrica" resultados, caracterizado por Dvoretzky del teorema: existe una función de $f$ tal que para cada n-dimensional espacio de Banach X y cada una de las $\varepsilon > 0$, X tiene un subespacio Y con $\dim Y = m \ge f(\varepsilon) \log (n+1)$ tal que $d(Y,\ell_2^m) < 1+\varepsilon$. Por lo tanto, cualquier espacio contiene subespacios, de no demasiado pequeña dimensión, que son arbitrariamente cerca de ser isométricamente espacios de Hilbert.

Así que mi pregunta, por último, es: ¿hay naturales de las categorías en las que interpretar estos resultados? Supongo que los objetos no deben ser espacios individuales, pero las secuencias de espacios con el aumento de las dimensiones. En particular, como los dos resultados citado anteriormente destacan, la secuencia de n-dimensional de espacios de Hilbert $\ell_2^n$ debe jugar un gran papel. Pero no tengo idea de lo que los morfismos se debe acomodar a la cuantitativa control sobre las normas en estas formas.

Answer 1

La mejor solución que se me ocurre es que los analistas ya han adoptado: el Uso de la categoría de los lineales de los mapas, sino que enriquecen la categoría sobre sí mismo. En otras palabras, hacer de la $\mathrm{Hom}(X,Y)$ en un espacio de Banach así como también el uso del operador de la norma. Entonces no es tan malo que todos los $n$-dimensiones de los espacios de Banach son isomorfos. Desde el isomorphisms normas a sí mismos, se puede preguntar cómo bien son isomorfos.

Estrictamente hablando, no se puede enriquecer a una categoría sobre sí mismo, ya que es circular. Sin embargo, hay una manera de salir de esa categoría en la teoría; auto-enriquecimiento se llama "interna Hom" y hay axiomas. Está estrechamente relacionada con la creación de la categoría en un tensor de la categoría, y finito-dimensional de los espacios de Banach son también.

Otra forma de decir esto es: Una categoría en la que todo es isomorfo es un groupoid, además de algunos no es invertible mapas. Que puede parecer insuficiente. El $n$-dimensiones de los espacios de Banach son, de hecho, un groupoid, pero son una normativa groupoid, que no es tan malo.

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Bueno, ese último párrafo es algo que Marca ya estaba diciendo, así que permítanme hacer un poco diferente punto. La organización de los objetos de estudio en una categoría es una especie de justificación. Si es un enriquecido categoría, entonces es una relación justificación: Los módulos de un álgebra son una categoría más de la categoría de espacios vectoriales, por lo que los módulos están justificados en relación a espacios vectoriales. (Y no sólo en relación a los conjuntos en ese caso).

A veces la mejor justificación es una auto-justificación, y eso es lo interno de homs hacer por usted. Las categorías establecidas y Vect ya son como este. Ya en la categoría de los espacios de Banach, $\mathrm{Hom}(X,Y)$ es también un espacio de Banach, que es una auto-justificación, en tanto el mismo espíritu. Supongo que para captar la idea, usted debe presentar álgebras de Banach y mixto multiplicación entre espacios de Banach. El bilineal composición de $\mathrm{Hom}(X,Y)$ $\mathrm{Hom}(Y,X)$ es lo que dice cómo cerrar $X$ $Y$ son isométricos.

Answer 2

Este es un cambio en la redacción de Mateo respuesta, pero uno puede usar el análisis no estándar para obtener una categoría que logra lo que la Marca quiere. Después de tomar ultrapowers, se obtiene no estándar enteros (ultralimits de la norma enteros), no estándar finito dimensionales espacios de Banach (ultralimits de la norma finito dimensionales espacios de Banach), no estándar transformaciones lineales (ultralimits de la norma transformaciones lineales), etc. Uno puede entonces separar a estos no-estándar de objetos en distintas clases, por ejemplo, delimitada no estándar de reales (ultralimits de manera uniforme limitada estándar de reales, o, equivalentemente, de la no-estándar reales de los que están limitadas en magnitud por un estándar real), delimitada no estándar transformaciones lineales, poli(n)-limitada no estándar transformaciones lineales, polylog(n)-limitada no estándar transformaciones lineales, etc., donde n es un unbounded no estándar número natural (que, en la práctica, sería utilizado para acotar las dimensiones de las cosas). Cada uno de estos forman una categoría.

Así, por ejemplo Kashin del teorema se convierte en la afirmación de que todos los no estándar de Banach espacio de algunos no estándar de dimensión finita N tiene un M-dimensional subespacio que es isomorfo (en la categoría de limitada no estándar transformaciones lineales) a $\ell^2(M)$ siempre $M \leq N/2$ (o más generalmente al $M \leq (1-\epsilon)N$ estándar $\epsilon > 0$.

Dvoretsky del teorema es más complicado. Aquí, supongo que uno necesita para trabajar con la categoría de casi contracciones: operadores cuyo operador de la norma en la mayoría de las $1+o(1)$ (es decir, limitada por $1+\epsilon$ por cada estándar $\epsilon > 0$. Entonces creo que el teorema dice que cualquier no estándar finito dimensional espacio de Banach con algunos no estándar de la dimensión N de un M-dimensional del subespacio que es casi isométrica a $\ell^2(M)$, siempre que $M = o(\log N)$. (Puede que se me han jodido los cuantificadores ligeramente, pero esto es bastante cerca de lo que la no estándar de la traducción de las cosas como debe ser.)

Answer 3

Un (razonablemente) estándar truco para convertir finito-dimensional limitar tipo de problemas en una sola, de infinitas dimensiones de los problemas es el uso de Ultraproducts (o no-estándar de cascos, si conoces más al modelo de la teoría que yo hago).

Deje $(E_i)$ ser una familia de espacios de Banach en un conjunto de índices $I$, y deje $\ell^\infty(I,E_i)$ ser el espacio de Banach de todos los delimitada familias $(x_i)_{i\in I}$ donde $x_i\in E_i$. Deje $U$ ser un no-director de ultrafilter en $I$, y considerar la posibilidad de $N_U=\{ (x_i)\in\ell^\infty(I,E_i) : \lim_{i\rightarrow U} \|x_i\|=0 \}$. Este es un subespacio cerrado, por lo que podemos formar el cociente espacio de Banach $\ell^\infty(I,E_i) / N_U$. Este es el ultraproduct en el $(E_i)$. Si $E_i=E$ todos los $i$, obtenemos un ultrapower de $E$. (Si usted sabe acerca de ultraproducts de la lógica, hay la obvia "normativa" de las definiciones).

Heinrich tiene un buen papel en Crelles en este. Por ejemplo, Dvoretzky del teorema de ahora se convierte en: para cualquier infinitas dimensiones espacio de Banach $X$, todos los ultrapowers de $X$ contienen un isométrico copia de $\ell^2$. (Bueno, por lo que me he perdido algunas de las constantes).

No estoy seguro del todo cómo conseguir esto en una categoría de la teoría, sin embargo.