¿Posible error encontrar el volumen máximo de una caja con la desigualdad de AM-GM?

Question

He encontrado el siguiente problema:

¿Qué es la caja (sin la parte superior) de mayor volumen que puede construirse a partir de un pedazo cuadrado de estaño de la longitud de la arista $2a$ cortando un cuadrado de cada esquina y doblando los bordes

He tratado de resolverlo con la AM-GM de la desigualdad: tengo los lados $(2a-2h), (2a-2h),h$ y luego:

$$\frac{(2a-2h)+ (2a-2h) + h}{3}\geq \sqrt[3]{(2a-2h)^2h}$$

La igualdad tiene al $(2a-2h)=(2a-2h)=h$, cuando trato de resolver, me parece:

$$h=\frac{2a}{3}$$

Cuando intento hacer lo mismo con derivados, me parece que las raíces de la derivada de $(2a-2h)^2h$$a$$\frac{a}{3}$. Me puede estar haciendo algo muy tonto pero no puedo averiguar lo que está mal.

Answer 1

El problema es, que el límite a la izquierda en AM / GM depende de $h$. Prueba $\sqrt [3] {(2a - 2h) ^ 2h} = 2 ^ {1/3} \sqrt [3] {(a-h) ^ 22 h} \le2^{1/3}\frac {(a-h) + (a-h) +2 h} {3} $$ en lugar de otro. Se obtiene la igualdad cuando $a-h=2h$ etcetera.

Answer 2

Deje $x=$ lado de una pequeña plaza $=$ profundidad de la caja;

a continuación, $2a-2x=$ lado de la plaza formando parte de abajo de la caja, y el volumen es $V=(2a-2x)^2x;$ que es la función a realizarse en un máximo variando $x$.

La aplicación de la regla $$\dfrac{dV}{dx}=12x^2-16ax+4a^2$$

La solución de $12x^2-16ax+4a^2=0$ da los valores críticos $x=a,\dfrac a3$.

Es evidente que $x=a$ debe dar un mínimo, para, a continuación, toda la lata sería cortado, no dejando ningún tipo de material de que para hacer un cuadro. Por la prueba habitual, $x=\dfrac a3$ se encuentra para dar un volumen máximo de $V=\left(2a-2\left(\dfrac a3\right)\right)^2\dfrac a3=\dfrac{16a^3}{27}$