¿Por qué es el isomorfismo de Artin-Wedderburn un isomorfismo del anillo?

Question

Estoy un poco confundido en el siguiente cálculo en la prueba de Artin-Wedderburn: vamos a $R$ ser un anillo semisimple tal que (desde $R$ es f.g. sobre sí mismo) tenemos $R \simeq \oplus_{i = 1}^r S_i^{n_i}$. Ahora,

$$ R^{op} \stackrel{(1)}\simeq End_R(R) \simeq End_R(\oplus_{i = 1}^r S_i^{n_i}) \stackrel{(2)}\simeq \bigoplus_{i = i}^rEnd_R(S_i)^{n_i \times n_i} $$

Ahora, yo sé que $(1)$ es un anillo de isomorfismo entre el$R^{op}$, y la izquierda $R$-módulo de morfismos de $R$ a istelf, pero ¿por qué es $(2)$ un anillo de isomorfismo? Sé que tenemos $Z(R)$-módulo de isomorfismo entre el$Hom_R(M \oplus N,P)$$Hom_R(M,P) \oplus Hom_R(N,P)$, lo $(2)$ podría considerarse como un módulo de isomorfismo, pero sin embargo $(1)$ es un anillo homomorphism por lo que no tendría sentido en este contexto.

Answer 1

Usted sólo tiene que mirar más profundamente en el teorema que usted ha mencionado.

El ejemplo más simple de cómo funciona este aspecto:

$End(M\times N)\cong \begin{bmatrix}Hom(M, M)& Hom(N,M)\\Hom(M,N)& Hom (N,N)\end{bmatrix}$ como anillos , donde la multiplicación es la multiplicación de la matriz. Echa un vistazo a cómo los elementos de las distintas entradas que componen el uno con el otro y generalizar a su situación.

La pieza final del rompecabezas es de notar que cuando se $M$ $N$ son diferentes Wedderburn componentes de $R$, no es distinto de cero homomorphism entre ellos. En nuestro juguete ejemplo anterior, si $Hom(M,N)=Hom(N,M)=\{0\}$, entonces usted está buscando en la diagonal de la matriz de anillo

$\begin{bmatrix}Hom(M, M)& 0\\0& Hom (N,N)\end{bmatrix}\cong Hom(M,M)\times Hom(N,N)=End(M)\times End(N)$, todos como anillo homomorphisms.