Dibujo bolas sin reemplazo hasta tres de un color se dibujan

Question

Este problema surgió en un juego que estaba jugando. Es sin duda un estándar de la combinatoria problema, pero estoy teniendo problemas para buscar una coincidencia exacta.

Supongamos que una urna contiene $B$ bolas azules, $R$ bolas rojas y $G$ bolas verdes. Las bolas son dibujados sin sustitución, hasta que he dibujado tres bolas de un color cualquiera (no necesariamente consecutivos). ¿Cuál es la probabilidad de acabar con tres bolas de color azul?

Mi razonamiento es el siguiente: el número de maneras de parar después de sacar tres bolas de color azul es igual al número de formas de dibujo exactamente dos azules y dos rojas y bolas verdes (en cualquier orden), multiplicado por el número de bolas azules final de la secuencia. Esto sugiere que el número de maneras de acabar con el azul es

$$E_B = \sum_{i=0}^2 \sum_{j=0}^2 (B-2)(2+i+j)!\binom{B}{2}\binom{R}{i}\binom{G}{j}$$

donde el binomio términos seleccione de bolas que se extraen y el factorial enumera todas las permutaciones, para la secuencia de bolas excluyendo la última bola. La probabilidad de acabar con tres bolas de color azul es entonces $$\frac{E_B}{E_B+E_R+E_G}$$ para $E_R$ $E_G$ computado de forma análoga.

Es este enfoque correcto?

EDIT: Propuesta recursiva soluciones para el problema (por ejemplo, la respuesta de Blatter a continuación) son prácticos si uno sólo se preocupa por la computación de un número, pero estoy particularmente interesado en una respuesta a esta pregunta que 1) explica por qué la fórmula anterior es incorrecta, y 2) recupera la fórmula.

Answer 1

Como se ha mencionado en los comentarios, no basta con contar el número de secuencias que terminan en tres tonos de azul y dividir por el número total. No todas las secuencias son igualmente probables (el más largo de la secuencia, la menos probable).

Para arreglar su método, hay que sumar las probabilidades en lugar de números. Para cada una de las $0\le i\le 2$$0\le j\le 2$, es necesario calcular la probabilidad de conseguir su tercera bola azul después de conseguir $i$ rojo y $j$ bolas verdes, sum. El resultado es $$ \sum_{i=0}^2\sum_{j=0}^2\frac{\binom{B}2\binom{R}i\binom{G}j}{\binom{B+I+G}{2+i+j}}\cdot \frac{B-2}{(R-i)+(G-j)+(B-2)} $$ El primer factor es la probabilidad de que la primera $i+j+2$ bolas consisten $i$ rojos, $j$ verdes y $2$ blues. El siguiente factor es la probabilidad de que la siguiente bola es azul.

Answer 2

La siguiente es una solución completa del problema, pero la fórmula final da ningún conocimiento.

Tenga en cuenta que el juego termina después de que en la mayoría de las $7$ se mueve. Se juega en los vértices y las líneas de la cuadrícula de la red cube $[0..2]^3$, por lo que ha $27$ no terminal de los estados.

Denotar por $p(x,y,z)$ la probabilidad de que el juego termina con tres dibujado las bolas de color azul, dado que ya tenemos dibujado $x$ azul, $y$ rojo, y $z$ bolas verdes. Esta función satisface $$p(3,y,z)=1,\quad p(x,3,z)=0,\quad p(x,y,3)=0\qquad \bigl(x,\>y,\>z\in[0..2]\bigr)$$ y la recursión hacia atrás $$p(x,y,z)={b-x\over n-j}\>p(x+1,y,z)+{r-y\over n-j}\>p(x,y+1,z)+{g-z\over n-j}\>p(x,y,z+1)\ ,$$ cual $n:=b+r+g$$j:=x+y+z$.

La cantidad de $t:=p(0,0,0)$ es la probabilidad de que usted está buscando. Aquí está una Mathematica aplicación de este enfoque, junto con un ejemplo numérico:

Answer 3

No hay codigo postal todo lo que muchas posibilidades.

Si $(r,g,b)$ es el estado final con $r$ rojo bolas, bolas de verde $g$ y $b$ azul bolas, entonces las posibilidades de $(r,g,b)$ terminando con tres bolas azules son (0,0,3), (0,1,3), (1,0,3), (0.2.3), (2,0,3), (1,1,3), (1,2,3), (2,1,3) y (2,2,3). La probabilidad de cada caso puede ser computada de una distribución hipergeométrica. Trabajar en todos los nueve casos y se suman las probabilidades.