¿Hay una función como la derivada de su inversa es la inversa de su derivado?

Question

Un diferenciable bijection $f$ $I$ (intervalo real diferente de un vacío y un punto de) a $J$.

$f'$ es el derivado de la $f$ y un bijection de$I'$$J'$.

$g$ es la inversa de a$f$$J$$I$.

Y $g'$ tiene que ser el derivado de la $g$ y el inverso de a $f'$ ( $J'$ $I'$).

Hay una función de $f$ que verifica esta condición ?

Mi conjetura es que no hay tal función.

Gracias por la ayuda.

Answer 1

Voy a suponer $f$ es dos veces diferenciable (EDIT: y cada vez mayor). Como $f'$ es un bijection, $f''>0$ o $f''<0$ en todas partes. Así que o $f$ es convexa o cóncava. Esto significa que su inverso $g$ es cóncava o convexa, respectivamente, y $g''$ tiene el signo opuesto a $f''$. Sin embargo, como $f'$ $g'$ son inversos el uno al otro, $g''(t)=\frac1{f''(g'(t))}$ $f''$ $g''$ tienen el mismo signo en todas partes. Eso es una contradicción.

EDIT: Si la función es decreciente, no hay ningún problema con los signos, como se señaló en los comentarios de abajo.

Answer 2

NO es una respuesta completa, pero sólo algunas divagaciones para limpiar el problema un poco.

En primer lugar, $f'$ está definido en el mismo intervalo de tiempo como $f$, por lo que su $I'$ es sólo $I$; voy a usar $K$ para denotar $f'(I)$, en lugar de utilizar $J'$.

Quieres $$ g'(f'(u)) = u $$ para todos los $u \in I$. Pero debido a que $g = f^{-1}$, sabemos (teorema de la función inversa) que $$ g'(b) = \frac{1}{f'(f^{-1}(b))} $$ para cualquier $b \in K$. Aplicando esto a $b = f'(u)$, y sustituyendo, obtenemos $$ g'(f'(u)) = \frac{1}{f'(f^{-1}(f'(u)))} $$ A partir de la primera ecuación, desea que este a la igualdad de $u$, para todos los $u \in I$, es decir, usted quiere encontrar una función de $f$ en algunos intervalo de $I$ con la propiedad de que $$ \frac{1}{f'(f^{-1}(f'(u)))} = u, $$ o $$ \frac{1}{u} = f'(f^{-1}(f'(u))) $$

Ahora en esta ecuación, usted va a aplicar $f^{-1}$$f'(u)$, lo que significa que $K \subset J$. Así, el problema se convierte en:

Hay intervalos de $I$ $J$ y una función de $f: I \to J$, con

• $K = f'(I)$ ser un subconjunto de a $J$, y
• $\frac{1}{x} = f'(f^{-1}(f'(x)))$ todos los $x \in I$ ?

---

Personalmente, sospecho que no, pero no tengo ningún tipo de prueba.