Demostrar que la derivada siempre diverge más rápido que la función original

Question

Dejemos que $f$ sea una función real diferenciable. ¿Cuál es la forma más sencilla/mejor de demostrar que $\lim_{x \to a} f(x) = \infty$ implica que $ \lim_{x\to a} \frac{f'(x)}{f(x)} = \infty$ ? Parece un enunciado tan sencillo que tal vez incluso exista una prueba que evite por completo las ecuaciones. (Tenga en cuenta que $a$ es un número finito).

Esta es la que se me ha ocurrido hasta ahora, que funciona demostrando que al integrar $\frac{f'(x)}{f(x)}$ en las proximidades de $x = a$ explota. De hecho, $\int \frac{f'(x)}{f(x)} \mathrm d x = \int \frac{\mathrm d}{\mathrm d x} \left( \ln f(x) \right) \mathrm dx = \ln f(x) + c$ y entonces podemos utilizar el hecho de que $\lim_{x \to a} f(x) = \infty$ implica que $\lim_{x \to a} \ln f(x) = \infty$ .

EDIT: ¡la afirmación anterior no es cierta! El problema es que $f'/f$ puede no tener un límite bien definido. Lo mejor que se puede demostrar es que $f'/f$ no tiene límites en ninguna vecindad de $a$ . (Véase la respuesta de RRL para la prueba, y la respuesta de Euler para un contraejemplo de la afirmación original).

Answer 1

Esto es realmente un error. Para esta función: hay valores de x arbitrariamente cercanos a $0$ tal que $\frac{f'(x)}{f(x)} = 0$ . Si quiere una expresión explícita, tome $f(x) = \frac1x + sin\Big(\frac1x\Big)$

Answer 2

Lo máximo que puede demostrar es que $f'/f$ es ilimitado en cualquier vecindad de $a$ .

Con $a < x < y$ se deduce por el teorema del valor medio que existe un punto $\xi_{x,y}$ entre $x$ y $y$ tal que

$$\log f(x) - \log f(y) = \frac{f'(\xi_{x,y})}{f(\xi_{x,y})}(x - y),$$

y

$$\lim_{x \to a+}\frac{f'(\xi_{x,y})}{f(\xi_{x,y})} = \lim_{x \to a+} \frac{\log f(x) - \log f(y)}{x-y} = \infty.$$

Por lo tanto, en cualquier intervalo $(a,y]$ por pequeño que sea podemos encontrar una secuencia de puntos $(\xi_n)$ tal que $f'(\xi_n)/f(\xi_n) \to \infty.$ El teorema del valor medio no es constructivo con respecto al punto intermedio, por lo que no podemos determinar que $\xi_n \to a$ o más generalmente que $\lim_{x \to a} \xi_{x,y}= a.$ Esto demuestra, al menos, que $f'/f$ debe ser ilimitado en cualquier vecindad de $x=a.$

La respuesta de @Eulerr es un ejemplo en el que $f'/f$ es ilimitado pero el límite no existe.

Answer 3

Edición: Como indican los comentarios y otras respuestas, la suposición original era incorrecta.
Sin embargo, puede salvarse añadiendo requisitos adicionales.
Al exigir $f'$ para ser monótono en $(a-\epsilon,a)$ para algunos $\epsilon>0$ podemos probar $\lim_{x\nearrow a} \frac{f'(x)}{f(x)}=\infty$ .
Que más $\to$ representan $\nearrow$ (creo que no encaja bien en las ecuaciones), de modo que, por ejemplo $\lim_{x\to a} f(x) $ significa el límite de $x$ que tiende a $a$ desde la izquierda.

Utilizando el teorema del valor medio:

Dejemos que $\lim_{x\to a} f(x) = \infty$ . Definir los puntos $x_1,x_2$ para que $x_1<x_2<a$ .

Entonces, según el teorema del valor medio existe un $x\in (x_1,x_2)$ para que $$f'(x) = \frac{f(x_2) - f(x_1)}{x_2-x_1} \\\Leftrightarrow\\ \frac{f'(x) }{f(x_2) - f(x_1)} = \frac 1{x_2-x_1} $$ Ahora, dejemos que $x_2\to a$ . Entonces, por la ecuación anterior, tenemos (en caso de duda, revisa los comentarios):

$$\lim_{x_2\to a} \frac{f'(x) }{f(x_2) - f(x_1)} = \lim_{x_2\to a }\frac 1{x_2-x_1} \\\Leftrightarrow\\ \lim_{x_2\to a} \frac{f'(x) }{f(x_2) - f(x_1)} =\frac 1{a-x_1}$$ Para simplificar aún más la ecuación anterior, ahora mostraremos $\lim_{x\to a}f'(x)=\infty$ .

Para ello, vamos a suponer $\lim_{x\to a}f'(x) = c$ para algunos $c\in\mathbb{R}$ .
Entonces $f'(x)$ tendría un supremum en el intervalo $(a-\epsilon,a]$ :
$$\sup := \sup\{f'(x)\mid x\in (a-\epsilon,a]\}$$ Sin embargo, esto implicaría $f(a) < f(a-\epsilon) + sup \cdot \epsilon <\infty$ , lo que da lugar a una contradicción.

Por lo tanto, $\lim_{x\to a}f'(x) $ tiene que ser ilimitado, y como $f'$ es monótona para esta consideración, tenemos $\lim_{x\to a}f'(x) =\pm \infty$ .
Obviamente, $\lim_{x\to a}f'(x) =- \infty$ no puede ser el caso, por lo que podemos concluir $$\lim_{x\to a}f'(x) = \infty$$

Con este resultado, ahora podemos simplificar nuestra ecuación: $$ \lim_{x_2\to a} \frac{f'(x) }{f(x_2) - f(x_1)} =\frac 1{a-x_1} \\\Leftrightarrow\\ \lim_{x_2\to a} \frac{f'(x) }{f(x_2)} = \frac 1{a-x_1} $$ (como ambos $f'(x)$ y $f(x_2)$ tienden a $\infty$ , mientras que $f(x_1)$ es finito)

Por lo tanto, si dejamos que $x_1\to a$ podemos concluir que $$\lim_{x_2\to a} \frac{f'(x) }{f(x_2)} = \infty$$