$\mathbb CP^n$ con una cuádrica eliminada es homeomorfo a $T(\mathbb RP^n)$ .

Question

Dejemos que $V_f$ sea el conjunto cero de una cuadrática $z_1^2+\dots +z_{n}^2$ en $\mathbb CP^{n}$ . Me gustaría demostrar que

$P^{n}(\mathbb C) \setminus V_f$ es difeomorfo al espacio total del haz tangente $T (\mathbb RP^{n})$ .

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Algunas de mis observaciones:

Dejemos que $\tilde{V_f}$ sea la preimagen de $V_f$ bajo la proyección $S^{2n+1} \to \mathbb CP^n$ . Reescribiendo la condición de que

dejando $\mathbf z \in \mathbb C^{n+1}$ sea un vector $z_n^2+\dots +z_0^2=0$ en términos reales, obtenemos que $(|x|^2-|y|^2)+2i \langle x, y \rangle=0$ Así que $|x|^2=|y|^2$ y el producto interior es cero.

Sin embargo, como $|x|^2+|y|^2=1$ si va a estar en $S^{2n+1}$ , obtenemos que $|x|$ y $|y|$ son ambos $\frac{1}{\sqrt{2}}$ .

Por lo tanto, un difeomorfismo $\tilde{V_f} \to V_2(\mathbb R^{n+1})$ (donde el codominio es el conjunto de ortonormales $2$ -marca en $\mathbb R^{n+1}$ ) viene dada por $(x,y) \mapsto (\sqrt{2}x,\sqrt{2}y)$ .

A partir de esto, podemos concluir que $V_f \cong G_2(\mathbb R^{n+1})$ .

¿Hay alguna manera de concluir desde aquí?

Answer 1

Dejemos que $\pi:S^{2n+1}\rightarrow \mathbb{C}P^n$ sea la proyección canónica y que $\tilde V_f=\pi^{-1}(V_f)\subseteq S^{2n+1}$ sea la imagen inversa de $V_f\subseteq \mathbb{C}P^n$ . Como ha demostrado, $\tilde V_f\cong V_2(\mathbb{R}^{n+1})$ y $\pi$ restringido a este espacio es un $S^1$ -fibración principal sobre $V_f\cong Gr_2(\mathbb{R}^{n+1})$ . Sea

$$F=\{(z_0,\dots,z_n)\in S^{2n+1}\setminus\tilde V_f\mid z_0^2+\dots+z_n^2=1\}$$

sea la fibra de Milnor del polinomio $f$ . Observe que $\pi|_F:F\rightarrow \mathbb{C}P^n\setminus V_f$ es suryente.

Escribir $\underline z=(z_0,\dots,z_n)\in S^{2n+1}\subseteq \mathbb{C}^{n+1}$ como sus partes real e imaginaria $\underline z=\underline x+i\underline y$ definimos un mapa

$$\tilde \Psi:F\rightarrow TS^n,\qquad \underline x+i\underline y\mapsto\left(\frac{\underline x}{|\underline x|},\underline y\right),$$

donde hemos identificado el haz tangente $TS^n=\{(\underline x,\underline y)\in S^{n}\times \mathbb{R}^{n+1}\mid \underline x\cdot \underline y=0\}$ . Vemos que este mapa está bien definido utilizando el cálculo que ya ha proporcionado. De hecho, escribiendo

$$F=\{(\underline x,\underline y)\in\mathbb{R}^{n+1}\times\mathbb{R}^{n+1}\mid \underline x^2=\underline y^2+1,\;\underline x\cdot \underline y=0\}$$

vemos fácilmente que $\tilde \Psi$ es uno a uno y sobre. Es claramente suave y su inversa suave es fácil de escribir, por lo que se ve que es un difeomorfismo.

Ya hemos observado que $\pi|_F:F\rightarrow \mathbb{C}P^n\setminus V_f$ es sobreyectiva, aunque no es difícil ver que no es $S^1$ -principal. Sin embargo, lo que sí es cierto es que si consideramos el $S^1$ orbita en $S^{2n+1}\setminus\tilde V_f$ de un punto $\underline z\in F$ entonces encontramos que

$$(S^1\cdot \underline z)\cap F=\{\pm\underline z\}$$

consta exactamente de dos puntos. De hecho $\pi^{-1}(\pi(\underline z))\cap F=\{\pm\underline z\}$ .

La cuestión es que $F$ es cerrado bajo la restricción de la $S^1$ -acción a su $\mathbb{Z}_2$ -y tenemos una fibración principal

$$\mathbb{Z}_2\hookrightarrow F\xrightarrow{\pi|} \mathbb{C}P^n\setminus V_f.$$

Ahora recuerda que el mapa $\tilde \psi:F\rightarrow TS^n$ . está claro por su definición que este mapa es $\mathbb{Z}_2$ -equivariante con respecto al natural $\mathbb{Z}_2$ -acción sobre $TS^n$ inducido por el mapa tangente del mapa antipodal en $S^n$ . Por tanto, existe un mapa inducido de $\mathbb{Z}_2$ -espacios en órbita

$$\Psi:\mathbb{C}P^n\setminus V_f\rightarrow T\mathbb{R}P^n\cong (TS^n)/\mathbb{Z}_2.$$

Dado que el mapa que preserva la fibra $\tilde\Psi$ es un difeomorfismo, también lo es su cociente $\Psi$ que es, por tanto, el mapa que ha estado buscando.