¿Existe que un producto escalar s.t. en la siguiente lista es ortogonal?

Question

Que $A_1=\begin{pmatrix}1&0\0&0\end{pmatrix}\quad A_2=\begin{pmatrix}1&1\0&0\end{pmatrix},\quad A_3=\begin{pmatrix}1&1\1&0\end{pmatrix},\quad A_4=\begin{pmatrix}1&1\1&1\end{pmatrix}$.

¿Hay un producto escalar s.t. $|A_k|=k$ $k=1,2,3,4$ y $A_i\perp A_j$ $i\neq j$?

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Tenemos que $\langle A, B \rangle = \mbox{Tr}(A^\top B)$ $|A_i|=i$, pero lamentablemente no es ortogonal. Así que, ¿cómo podemos concluir?

Answer 1

Lema. Que $V$ ser un verdadero espacio del vector y $v_1,...,v_n$ a la base. Entonces existe un producto interno en $V$ que $(v_i)_i$ una base orthonormal.

Prueba. $\langle v_j,vk\rangle = \delta{jk}$ De definir y extender linealmente.

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Para su problema: comprobar que el $A_j$ forma una base del $\mathbb{R}^{2\times 2}$. Entonces también $(A_j/j)_j$ es una base y el producto interno del lema hace el trabajo.

Answer 2

Que $E_1:=\begin{bmatrix}1&0\0&0\end{bmatrix}$, $E_1:=\begin{bmatrix}0&1\0&0\end{bmatrix}$, $E_3:=\begin{bmatrix}0&0\1&0\end{bmatrix}$ y $E_4:=\begin{bmatrix}0&0\0&1\end{bmatrix}$. Entonces, la matriz de transformación envío $(E_1,E_2,E_3,E_4)$ $(A_1,A_2,A_3,A_4)$ es %#% $ de #% la forma bilineal requerida en la base $$T:=\begin{bmatrix}1&1&1&1\0&1&1&1\0&0&1&1\0&0&0&1\end{bmatrix}\,.$ está dada por la matriz $(A_1,A_2,A_3,A_4)$ $ por lo tanto, en la base $$B:=\begin{bmatrix}1&0&0&0\0&4&0&0\0&0&9&0\0&0&0&16\end{bmatrix}\,.$, la forma bilineal es dado por la matriz $(E_1,E_2,E_3,E_4)$ $ en otras palabras, esta forma bilineal es dado por el $$\left(T^{-1}\right)^\top\,B\,T^{-1}=\begin{bmatrix}1&-1&0&0\-1&5&-4&0\0&-4&13&-9\0&0&-9&25\end{bmatrix}\,.$ $ $$\left\langle \begin{bmatrix}a&b\c&d\end{bmatrix},\begin{bmatrix}x&y\z&w\end{bmatrix}\right\rangle=ax-ay-bx+5by-4bz-4cy+13cz-9cw-9dz+25dw$. Si el campo base es $a,b,c,d,x,y,z,w\in\mathbb{R}$, entonces la forma bilineal (o más bien, la forma sesquilinear) es dado por $\mathbb{C}$ $ $$\left\langle \begin{bmatrix}a&b\c&d\end{bmatrix},\begin{bmatrix}x&y\z&w\end{bmatrix}\right\rangle=a\bar x-a\bar y-b\bar x+5b\bar y-4b\bar z-4c\bar y+13c\bar z-9c\bar w-9d\bar z+25d\bar w$.