Intuición acerca de convertir un anillo polinomial en un campo

Question

Consideremos el polinomio anillo de $R=F[x]$ sobre un campo $F$. A continuación, tomando el cociente por un director ideal $I=(f(x))$ generado por un polinomio irreducible $f(x)$, obtenemos un campo de $R'=F[x]/(f(x))$.

Es fácil ver que $R'$ es de hecho un campo. Desde los ideales de la $R$ que contengan $I$ están en bijective correspondencia con los ideales de $R'$, podemos concluir que $R'$ tiene sólo dos ideales y por lo tanto es un campo (como $I$ es máxima en $R$ desde $f(x)$ es irreductible).

Yo quería preguntar, ¿hay una forma intuitiva de entender por qué tomar el cociente por algún ideal que hace de $F[x]$ en un campo? Yo ideal sería alguna forma de demostrar que la existencia de un polinomio distinto de cero equivale a cero en $R'$ de alguna manera nos permite describir un algoritmo para calcular los inversos multiplicativos...

Answer 1

Esto es más una respuesta a su primera pregunta hay una forma intuitiva de entender por qué tomar el cociente por algún ideal que hace de $F[x]$ en un campo?

La idea principal, es que para un anillo conmutativo $R$ con la unidad, y un ideal de a$J$$R$, los siguientes son equivalentes :

1. $J$ es un ideal maximal.
2. $R/J$ es un campo.

Este es un resultado general sobre anillos conmutativos con unidad. Probar que 1. implica 2. es fácil. Tome $x \notin J$. Entonces como $J$ es máxima, $(x)+J=R$. Lo que significa que existe $(a,j) \in R \times I$ tal que $ax+j=1$ o $\bar a \bar x = \bar 1$ $R/J$ demostrando que $R/J$ es un campo.

Ahora toma el anillo de $R=F[x]$. Es conmutativo con unidad. Pero tiene más particularidades. Es un dominio Euclídeo como en los polinomios sobre un campo, el polinomio es la división Euclidiana de la división.

Y en un dominio Euclídeo, un polinomio irreducible genera un ideal maximal. Aplicar el resultado que he mencionado en la introducción, se puede conseguir que la $F[x]/(f(x))$ es un campo.

No estoy seguro de que es intuitiva. Sin embargo, si usted puede ver los detalles en la prueba de la introducción de resultados en la máxima ideales, puede ser una manera de conseguir una especie de intuición en su pregunta.