¿Cuál es la definición rigurosa de$dy$ y$dx$?

Question

Algunos antecedentes: estoy en el tercer año de pregrado. He completado dos cursos sobre Análisis Real (he estudiado $\epsilon$-$\delta$ definiciones de límite, continuidad, la diferenciabilidad, Reimann la integración y la topología básica de $\mathbb{R}$). Este semestre me he matriculado en nuestra primera ecuación diferencial curso.

Esta no es la primera vez que estoy estudiando DE. En la escuela secundaria, se estudió de primer orden de la educación a distancia: separación de variables, homogéneo DEs, lineales de primer orden DEs y de Bernoulli la ecuación diferencial. No fue un tema común en la solución de la mayoría de estos DEs, el autor de alguna manera manipular el DE llegar a una ecuación de la siguiente forma: $f(x)dx = g(y)dy$, entonces, iban a integrar ambos lados para obtener la solución. Nunca he entendido lo que la ecuación de $f(x)dx = g(y)dy$ significaba, pues, el único lugar donde nos presentaron a los símbolos $dx$ $dy$ fue la definición de derivada: $\dfrac{dy}{dx}$ y integraition $\int f(x)dx$. Tenga en cuenta que en estas definiciones, ni $dx$ ni $dy$ se produce en su propio por separado, que se producen con cada uno de los otros (en el caso de derivados) o con $\int f$ (en el caso de la integral). Como un estudiante de la escuela secundaria, yo nunca estaba satisfecho con esta forma de resolver los DEs, pero pronto me convencí de que esta era la correcta, ya que le parecía imposible de resolver ciertos DEs sin abusar de este tipo de notación. Y, muy a menudo, la DEs ya estaría en el formulario que contenga $dx$ $dy$ por separado.

Ahora, en el curso actual, yo estaba esperando que le podría enseñar un matemáticamente rigurosa forma de resolver los DEs, pero me ha decepcionado después de leer las primeras secciones de los libros recomendados. Los libros son Simmons' Ecuaciones Diferenciales con Aplicaciones y Notas Históricas y Ross' Ecuaciones Diferenciales.

En la sección 7, Simmons escribe:

El más simple de los tipos estándar es aquella en la que las variables son separables: $$\dfrac{dy}{dx} = g(x)h(y)$$As we know, to solve this we have only to write it in the separated form $dy/h(y) = g(x)dx$ e integrar ...

Del mismo modo, Ross también se utiliza $dy$ $dx$ libremente, sin definir lo que significan. En la sección 2.1, Ross escribe:

El diferencial de primer orden ecuaciones para ser estudiado en este capítulo pueden ser expresadas en el derivado de la forma $$\dfrac{dy}{dx} = f(x, y)$$ or the differential form $$M(x, y)dx + N(x, y)dy = 0$$

Por lo tanto, me gustaría hacer las siguientes preguntas:

1. ¿Cuál es la definición rigurosa de $dx$$dy$?

2. ¿Cómo llegamos a la conclusión de $\dfrac{dy}{dx} = k$ que $dy = k dx ?$

3. Desde entonces, hemos de integrar ambos lados después de llegar a la forma $f(x)dx = g(y)dy$, significa que el $f(x)dx$ $g(y)dy$ son integrables (posiblemente, Reimann) funciones? Si es así, ¿cómo se demuestra eso?

4. Lo que hace Ross decir por la forma diferenciada? Wikipedia me da algo relacionado con la geometría diferencial y cálculo multivariable, ¿qué tiene que ver esto con Odas?

5. ¿Por qué todos los autores no se preocupan para definir $dx$? He visto pregrado textos sobre teoría de números que comienzan por la definición de divisibilidad, grad textos en el análisis de Fourier que definir lo que Reimann que significa la integración. Y, sin embargo, tenemos textos de introducción a las ecuaciones diferenciales ordinarias que no tienen suficiente contenido en algo que me parece ser uno de los método más común para resolver de primer orden las ecuaciones diferenciales ordinarias. ¿Por qué es esto así? Qué los autores asumen que el lector ha estudiado ya que en una anterior curso? Debo de haber estudiado en el curso de Análisis Real?

6. Por último, ¿hay algún libro de texto que toma un enfoque axiomático para la resolución de DEs? Entiendo que algunos autores quieren pasar más tiempo en el análisis de la motivación detrás de la DEs: su origen en la física, sus aplicaciones en la economía, etc. Pero creo que ya tiene suficiente motivación para estudiar DEs: en el primer año tuve que tomar la mecánica clásica, en la que he estudiado muchos tipos de DEs, incluidos los de segundo orden DEs para el oscilador armónico y yo también tuve que tomar la química cuántica en la que estudiaba ecuaciones en derivadas parciales como la clásica ecuación de onda y ecuación de Schrödinger. En Terry Tao de la lengua, creo que estoy allá de la pre-rigurosa fase de la DEs, y lo que yo esperaría de un curso de pregrado es un tratamiento axiomático de la asignatura. ¿Qué es un buen libro de texto que sirve para este propósito?

EDIT: tuve que ir a través de una pregunta similar. Pero yo no estoy buscando una manera completamente acabar con los llamados diferenciales $dx$ $dy$ , debido a, que podría hacer para solucionar determinados DEs muy difícil. Más bien, estoy en busca de una rigurosa teoría, que formaliza las operaciones de toma de $dx$ para el otro lado y la integración de ambos lados.

Answer 1

Me voy a conseguir un excurso que es mucho más complicado de lo que realmente necesita para su caso, en el que, básicamente, la dimensión es $1$. Sin embargo, creo que usted necesitará lo siguiente para entender mejor lo que está pasando detrás de las "mumbo jumbo" el formalismo de $\operatorname{d}x, \operatorname{d}y$ y así sucesivamente.

Obtener un espacio lineal $V$ de la dimensión de $n\in\mathbb{N}$ y una base $\{e_1,...,e_n\}$. Usted sabe que desde el álgebra lineal supuesto de que existe una única (dual) base $\{\varphi_1,...,\varphi_n\}$ del espacio dual $V'$ tal forma que: $$\forall i,j\in\{1,...,n\}, \varphi_i(e_j)=\delta_{i,j}.$$ Volver en $\mathbb{R}^n$ y deje $\{e_1,...,e_n\}$ ser su base estándar. A continuación, se definen $\{\operatorname{d}x_1,...,\operatorname{d}x_n\}$ como la doble base de la $\{e_1,...,e_n\}$.

Entonces usted necesita el concepto de diferencial de una función: si $\Omega$ es un subconjunto abierto de $\mathbb{R}^n$$f :\Omega\rightarrow\mathbb{R}$$x\in\Omega$, que va a decir que $f$ es diferenciable en a $x$ si existe un lineal mapa de $L:\mathbb{R}^n\rightarrow \mathbb{R}$ tal que $$f(y)=f(x)+L(y-x)+o(\|y-x\|_2), $$ para $y\rightarrow x$ donde $\|\|_2$ es la norma Euclídea en $\mathbb{R}^n$. También, usted va a decir que $f$ es diferenciable si es diferenciable en a $x$ por cada $x\in\Omega$.

Se puede demostrar que si $f$ es diferenciable, entonces para cada a $x\in\Omega$ lineal mapa de $L$ es única, en el sentido de que si $M$ es otro lineal mapa que hacer el mismo trabajo, a continuación,$M=L$. Así que usted está en posición de definir la diferencial de $f$ $x$ como el lineal mapa de $L$. En general, cuando se cambia el punto de $x$, también el diferencial de $f$ $x$ cambios, por lo que definir un mapa: $$\operatorname{d}f: \Omega\rightarrow (\mathbb{R}^n)'$$ que en cada una de las $x\in\Omega$ asocia el diferencial de $f$$x$. Este mapa se llama la diferencial de $f$.

Ahora, arreglar un diferenciable $f :\Omega \rightarrow \mathbb{R}$. A continuación,$\forall x\in\Omega, \operatorname{d}f(x)\in (\mathbb{R}^n)'$, por lo que, de ser $\{\operatorname{d}x_1,...,\operatorname{d}x_n\}$ una base para$(\mathbb{R}^n)'$, $a_1:\Omega\rightarrow\mathbb{R},..., a_n:\Omega\rightarrow\mathbb{R}$ tal forma que: $$\forall x \in \Omega, \operatorname{d}f(x)=a_1(x)\operatorname{d}x_1+...+a_n(x)\operatorname{d}x_n.$$ Usted puede probar que $$\frac{\partial{f}}{\partial{x_1}}=a_1,...,\frac{\partial{f}}{\partial{x_n}}=a_n$$ donde $\frac{\partial{f}}{\partial{x_1}},...,\frac{\partial{f}}{\partial{x_n}}$ son las derivadas parciales de $f$. Así, se tiene: $$\forall x \in \Omega, \operatorname{d}f(x)= \frac{\partial{f}}{\partial{x_1}}(x)\operatorname{d}x_1+...+\frac{\partial{f}}{\partial{x_n}}(x)\operatorname{d}x_n.$$

Ahora, se debe definir una forma diferenciada a ser cualquier función de: $$F :\Omega \rightarrow (\mathbb{R}^n)'$$ así, en particular, el diferencial de un mapa diferenciable es una forma diferenciada.

Aprenderás durante el curso en el que usted puede integrar continua de forma diferenciada a lo largo de $C^1$ curvas. Precisamente, si $\gamma :[a,b] \rightarrow \Omega$ $C^1$ función y $F :\Omega \rightarrow(\mathbb{R}^n)'$ es una forma diferenciada, a continuación, se definen: $$\int_\gamma F := \int_a ^ b F(\gamma(t))(\gamma'(t))\operatorname{d}t,$$ donde el lado derecho es una integral de Riemann (recuerde que $F(\gamma(t))\in(\mathbb{R}^n)'$ y $\gamma'(t)\in\mathbb{R}^n$, lo $F(\gamma(t))(\gamma'(t))\in\mathbb{R}$).

Ahora, puede probarse que si $f$ es una función derivable cuya diferencial es continua, entonces: $$\int_\gamma\operatorname{d}f = f(\gamma(b))-f(\gamma(a)).$$

Finalmente, llegamos de nuevo a la tierra. En su caso, usted tiene que $n=1$. Así que vamos a interpretar la ecuación $$\frac{\operatorname{d}y}{\operatorname{d}x} = f(x,y)$$ en el contexto de los diferenciales de formalismo desarrollado anteriormente:

1. $\{\operatorname{d}x\}$ es el doble de la base en el $(\mathbb{R})'$$\{1\}$$\mathbb{R}$;
2. $y$ es una función, digamos, de un intervalo abierto $I\subset\mathbb{R}$, es decir,$y:I\rightarrow\mathbb{R}$;
3. $\operatorname{d}y$ es la diferencial de la función $y$, y, a continuación,$\operatorname{d}y : I \rightarrow (\mathbb{R})'$;
4. Entonces, como dijimos antes (véase la sección sobre derivadas parciales), se tiene que la derivada de $y$, es decir,$y'$, satisface $\forall x\in I, \operatorname{d}y(x) = y'(x)\operatorname{d}x$. Aquí, la expresión $\frac{\operatorname{d}y}{\operatorname{d}x}$ es sólo un nombre para $y'$, por lo que, teniendo eso en mente, $\forall x\in I, \operatorname{d}y(x) = \frac{\operatorname{d}y}{\operatorname{d}x}(x)\operatorname{d}x$;
5. $f : I\times \mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ es una función, y queremos que $\forall x \in I, \frac{\operatorname{d}y}{\operatorname{d}x}(x) \doteq y'(x) = f(x,y(x))$;
6. Así que usted quiere que $\forall x \in I, \operatorname{d}y(x) \overset{(4)}{=} \frac{\operatorname{d}y}{\operatorname{d}x}(x)\operatorname{d}x \overset{(5)}{=} f(x,y(x)) \operatorname{d}x$ (observe que esta es una ecuación en la $(\mathbb{R})'$);
7. Ahora, obtener un intervalo de $[a,b]\subset I$ e integrar el diferencial de la forma a lo largo de la curva de $\gamma :[a,b]\rightarrow I, t\mapsto t$. Por un lado, se obtiene: $$\int_\gamma \operatorname{d}y = \int_a ^b \operatorname{d}y(\gamma(t))(\gamma'(t))\operatorname{d}t = \int_a ^b y'(t)\operatorname{d}t = y(b)-y(a),$$ y por otro lado: $$\int_\gamma \operatorname{d}y = \int_\gamma (x\mapsto f(x,y(x)))\operatorname{d}x = \int_a ^b f\left(\gamma(t),y(\gamma(t))\right)\operatorname{d}x(\gamma' (t))\operatorname{d}t = \int_a ^b f(t,y(t))\operatorname{d}t,$$ y así: $$y(b)-y(a) = \int_a ^b f(t,y(t))\operatorname{d}t.$$

Answer 2

Permítanme comenzar con un prólogo que, para conseguir realmente en el "verdadero" las definiciones rigurosas de $\text dx$$\text dy$, uno necesita tener multivariante de cálculo y álgebra lineal, como requisito previo, y en caso de estudio "geometría diferencial", que es el marco matemático que utiliza estos objetos de una manera rigurosa. En el cálculo, podemos "pedir prestado" sus propiedades y las notaciones sin necesidad de utilizar su significado formal. De hecho, el cálculo no requiere de una definición formal de lo que los objetos son, y pueden ser enmarcadas en una manera que no la utilizan (utilizando el primer notaciones para los derivados y restricciones de dominio para las integrales). Por lo tanto, si usted se siente como que faltan algunos pasos lógicos necesarios para construir el cálculo de los axiomas, que no lo son. También vale la pena destacar es que hay un marco matemático llamado "no-estándar de análisis" en el que se formaliza $\text dx$ $\text dy$ "infinitesimals", pero esto no es general, ¿cómo la gente define ellos. Con eso fuera del camino, voy a intentar abordar esta cuestión, sin entrar en el meollo del asunto, pero voy a señalar en la dirección de algunas de las fuentes que va a hacer eso para usted.

En la única variable de cálculo, nos fijamos en las funciones de $f: U\to \mathbb{R}$ donde $U\subset\mathbb{R}$. Es decir, nuestras funciones en un único número real y escupir un único número real. Definimos la forma de esta asignación sucede como $f: x\mapsto y$ o, simplemente,$y = f(x)$. Podemos definir la derivada de $f$ como la función de $f': D\to \mathbb{R}$, $f': x\mapsto \lim\limits_{h\rightarrow 0} \frac{f(x+h)-f(x)}{h}$ donde $D\subset U$ es el conjunto de $x$ donde tal límite existe y es finito. Todo esto debe familiar, ya que es simplemente el cálculo como la conocemos.

Definimos una función de $\text dx: \mathbb{R}\to\mathbb{R}$,$\text dx: h\mapsto h$. Sí, esa es la función identidad; intuitivamente, $\text dx$ mide la cantidad de $x$ cambios con respecto a los cambios en $x$, así que tiene sentido. Entonces, desde el $y = f(x)$, definimos $\text dy(h;x) = f'(x)\text dx(h)$. Como $\text dx$, esta es una función de $h$, pero también depende de $x$ -- donde se toma la derivada en. Para un determinado $x$, esto es sólo una función lineal a través del origen, en la forma $\text dy = a\cdot h$ para algún número real $a$. Esto es consistente con nuestra definición de $\text dx$ cuando tomamos $y = f(x) = x$, ya que el $f'(x)\equiv 1$, lo $\text dy(h;x) = \text dx(h)$. En general, decimos que una función de $f$, hay una función de $\text df$ se define de este modo, llama la diferencial de $f$. Entonces, podemos definir la antiderivada de una manera muy natural, $\int df = f$. De esta manera, una forma de describir un diferencial es, como algo que está destinado a ser integrado. Si nos fijamos en el paso intermedio, vemos a $\int df(x) = \int f'(x)dx = f(x)$ lo que nos muestra la notación que utilizamos en el cálculo, y también nos muestra cómo $u$de sustitución de las obras. Otra cosa que podemos hacer con esta notación es ir hacia atrás y resolver para $f'(x)$ en términos de las diferencias, lo que nos da $\frac{\text dy(h;x)}{\text dx(h)} = f'(x)$. Desde el lado derecho es independiente de $h$, la dejamos caer en el lado izquierdo y simplemente escribir $\frac{\text dy}{\text dx} (x) = f'(x)$. Y, ya que estamos perezoso, muchas veces incluso simplemente escriba $\frac{\text dy}{\text dx}$. Esta es una fracción, en la que se justifica el uso de técnicas estándar para separar las variables en la educación a distancia, pero si usted no tiene cuidado acerca de mantener ese $h$ dependencia en mente cuando se mueve alrededor, usted podría perder algo importante en el proceso.

Mucho de esto parece obvio en el caso de una sola variable de cálculo, o incluso sin sentido, en algún sentido, pero se hace un poco más de sentido cuando nos movemos hacia dimensiones superiores. Si $f: U \to \mathbb{R}^m$ donde $U\subset \mathbb{R}^n$, todavía podemos definir todos los conceptos, pero con un poco más de trabajo. En primer lugar, el nombre de la $n$ variables de entrada $x_1,x_2,\dots,x_n$, y lo mismo para la salida de $y$'s. Entonces, podemos definir la $\text dx_1: \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}$ $\text dx_1(h) = h_1$ donde $h_1$ es el primer componente del vector $h$. Por supuesto, esta misma definición se tiene para cada dimensión, por lo $\text dx_i(h) = h_i$ todos los $i = 1,\dots,n$. Ahora, en lugar de ser la función identidad, $\text dx_i$ $i$- ésimo componente de la función. Al igual que antes, $dx_i$ mide la cantidad de $x_i$ cambios con respecto a los cambios en $x$ (todas las dimensiones), por lo que es sólo la parte de $x$ que se mueve en el $x_i$ dirección. Esto nos da una manera de aislar a cambio de una función con respecto a los cambios en cada una de las entrada de las direcciones. Podemos combinar estas en una función de $\text dx(h) = h$, cuyas $i$-ésima componente es $\text dx_i$. Definimos la derivada de la $i$-ésimo de la dirección de salida con respecto a la $j$-th dirección de la entrada como $\frac{\partial y_i}{\partial x_j}(x) = \lim\limits_{h\to 0} \frac{f_i(x+h|_j)-f_i(x)}{h|_j}$ donde $h|_j$ es el vector de la $h$ con todos los componentes del conjunto de a $0$ además de la $j$-th. Entonces, definimos $\text dy_i(h;x) = \sum\limits_{j=1}^n \frac{\partial f_i}{\partial x_j}(x) \text dx_j(h) = \text D f_i \cdot \text dx(h)$ donde $\text Df_i$ es el vector cuyas $j$-ésima componente es $\frac{\partial f_i}{\partial x_j}(x)$ $\cdot$ es el producto escalar. Por último, defina $\text dy(h;x)$ a ser el vector cuyas $i$-ésima componente es $\text dy_i(h;x)$. En otras palabras, $\text dy(h;x) = \text Df(x) \text dx(h)$ donde $\text Df$ es una matriz cuyas $i,j$-ésima es $\frac{\partial f_i}{\partial x_j}$, llama la Jacobiana. Entonces, desde el $\text Df$ es una constante de matriz con respecto a $h$$\text dx(h) = h$, $\text dy(h;x) = Ah$ para una matriz de $A$, la cual es una función lineal en $h$. Por eso, $\text dy$ le dice ¿cuánto $y$ cambios en cada dirección, con respecto a los cambios en $x$, $\text Df$ nos dice cuánto $y$ cambios en cada dirección, con respecto a los cambios en cada dirección de la $x$. Entonces, de nuevo, podemos definir la antiderivada de cualquier diferencial como $\int \text df = f$. Sin embargo, las condiciones en general de la función $g(x)$ ser capaz de escribir como $\text df(x)$ para algunos la función $f$ son mucho más estrictas que las que estaban en una dimensión. Esto está relacionado con el hecho de que el clásico de la "separación de variables" que funciona para uno-dimensional de las ecuaciones diferenciales ordinarias no funciona para ecuaciones en derivadas parciales o de dimensiones superiores Odas en general, pero no son específicos, más raros los casos en los que se puede tomar ventaja de la diferencial de la función.

Esto envuelve un muy "cálculo" manera de acercarse a la idea de las diferencias. Estas ideas son el mismo que lo podrá encontrar en la geometría diferencial sin embargo, sólo aguado un poco para que sea más digerible. Si desea una explicación más rigurosa formalización que se construye a partir de cálculo, echa un vistazo Spivak del "Cálculo de los Colectores". Si desea saltar a la derecha en la geometría diferencial y, básicamente, de inicio en la definición de los diferenciales, recomiendo Do Carmo "Formas Diferenciales y Aplicaciones". Para saciar su deseo de un enfoque más riguroso Odas, echa un vistazo Grimshaw "no Lineal de Ecuaciones Diferenciales Ordinarias" (no dejes que el título de engañar a usted, se invierte una cantidad decente de tiempo en la teoría de ecuaciones lineales). Todos estos texto se requieren para tener un firme entendimiento de álgebra lineal (como en abstracto vector de espacios, no sólo de manipulación de matrices), ya que su único propósito es la generalización de los conceptos de las altas dimensiones, específicamente $\mathbb{R}^d$, el cual tiene álgebra lineal en el núcleo. Spivak es lo que yo consideraría un título de texto, en el que es muy accesible con un poco de esfuerzo por parte de cualquier persona que tenga una base sólida en álgebra lineal y cálculo multivariable, así como algo de experiencia con la prueba de razonamiento basado en. Grimshaw es el siguiente paso, y me gustaría ponerlo en "avanzado" nivel de licenciatura, mientras que Do Carmo está firmemente en el reino de posgrado. Es técnicamente accesible por los estudiantes de pregrado, pero no está escrito con un conocimiento limitado de las matemáticas en la mente.

Espero que usted puede ver que los diferenciales son una interesante manera de ver las cosas, pero también que no es realmente necesario para discutir cálculo o Odas a un nivel elemental, y tienden a tener más problemas de lo que valen para introducirlos para la mayoría de los estudiantes. Sin embargo, estoy de acuerdo en que puede ser confuso que usamos la notación que sugiere formas diferenciales sin formalmente la definición de ellos, pero es más de un vestigio histórico que cualquier otra cosa. Verás en Grimshaw del texto que realmente no hay ningún debate de formas diferenciales o diferenciales como una cosa a todos, porque no es realmente necesario. Por ejemplo, la ecuación de $\frac{\text dy}{\text dx} = \frac{f(x)}{g(y)} \Leftrightarrow g(y)\frac{\text dy}{\text dx} = f(x)$ puede ser antidifferentiated a través de la sustitución (o inspección). También, no hay ningún requisito explícito para $f$ o $g$ a ser integrable, Reimann o de otra manera, pero a menudo requieren $y$ continuamente diferenciable (o al menos diferenciable) en un dominio de interés, lo cual implicará que $f$ $g$ son integrables. Si usted está interesado en la intersección de la geometría diferencial y ecuaciones diferenciales, usted puede mirar en, por ejemplo, Hairer "la Resolución de Ecuaciones Diferenciales en los Colectores" y otros textos similares.

Answer 3

La existencia del régimen de $dx$'s y $dy$'s en la educación a distancia teoría es un artefacto histórico. La educación a distancia teoría fue desarrollada hace varios siglos, en un momento en el cálculo todavía estaba definida en términos de manipulaciones con indefinido de objetos llamados de diversas maneras diferenciales/infinitesimals/fluxions. El popular favor de estos objetos ha sufrido altibajos a lo largo del tiempo. Cayeron en el descrédito de todo el tiempo de Weierstrass introdujo el riguroso $\epsilon-\delta$ definición de un límite, pero más tarde regresó en la década de 1960 con el descubrimiento de que podrían ser totalmente riguroso usar algo que se llama no-estándar de análisis.

Los argumentos usando solitaria $dx$'s surgen de considerar como infinitesimals, y en mi opinión de que es la mejor manera de definir rigurosamente. Usted puede ordenar de revisión de la lógica detrás de $dx$'s por medio de cosas como formas diferenciales, pero todavía no permite realmente hacer todas las manipulaciones se encuentra en la ODA libros (como dividir un diferencial por otro).

Mi punto de vista sobre este tema nace de mi propia frustración tratando de encontrar respuestas a preguntas como la OP. La gente ha estado tratando de poner rigor detrás infinitesimal argumentos de muchas maneras y por muchas décadas, pero en mi experiencia, no hay solución satisfactoria guardar la no-estándar de análisis. Así que mi recomendación es retirar este campo. "No estándar de análisis: Teoría y aplicaciones" por Arkeryd et al. mi favorito es el de referencia (el mejor para conseguir a través de una biblioteca de la universidad, ya que tiene una etiqueta de precio fuerte), y tiene una breve sección sobre la educación a distancia. He escuchado "no estándar de análisis para el trabajo matemático" por Loeb y Wolff es demasiado bueno.